Chủ đề này có 33 trả lời

[Christian Goldbach]

Mong mọi người góp ý xây dựng topic!
Bài 1:
a$Cho 0\leqslant a,b,c\leq 1.CMR:\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrMathCSKH0110: 10-03-2013 - 13:35

[Sagittarius912]

Thày giao bài khó quá mong mọi người góp ý giúp cho!
Bài 1:
a$Cho 0\leqslant a,b,c\leq 1.CMR:\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/83850-mss2013-tr%E1%BA%ADn-12-b%E1%BA%A5t-d%E1%BA%B3ng-th%E1%BB%A9c-bai-toan-t%E1%BB%95ng-h%E1%BB%A3p/

[Christian Goldbach]

Bài tiếp nè :
cho a,b,c t/m : $0\leq a,b,c\leqslant 2$ và a+b+c=3 CMR : $a^2+b^2+c^2\leqslant 5$

[Christian Goldbach]

Bài 3 :
Cho: a+b+c=1 CMR : $\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geqslant 16$

[Christian Goldbach]

Bài 4:
Cho a,b,c dương t/m : ab+bc+ca=1. CM: $\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\leqslant \frac{3}{2}$

[Sagittarius912]

Bài tiếp nè :
cho a,b,c t/m : $0\leq a,b,c\leqslant 2$ và a+b+c=3 CMR : $a^2+b^2+c^2\leqslant 5$

http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/93083-cho-abc-epsilon-02-va-abc3-ch%E1%BB%A9ng-minh-a2b2c2-leq-5/

[Sagittarius912]

Bài 4:

Cho a,b,c dương t/m : ab+bc+ca=1. CM: $\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\leqslant \frac{3}{2}$

thay $ab+bc+ca=1$ vào

BDT cần chứng minh là

$\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(a+b)}}+\frac{c}{ {\sqrt{(a+c)(b+c)}}} \le \frac{3}{2}$

Theo bđt AM-GM ta có

$\frac{2a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\le \frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}$

$\frac{2b}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}\le \frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}$

$\frac{2c}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}\le \frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}$

Cộng vế theo vế 3 bđt trên ta có đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[Sagittarius912]

Bài 3 :
Cho: a+b+c=1 CMR : $\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geqslant 16$

Sử dụng Cauchy-Schwarz:

$\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\ge \frac{4}{c(b+a)}$

Ta cần chứng minh

$4c(a+b)\le 1$

hay

$2\sqrt{c(a+b)}\le 1$ (1)

Mặt khác theo bdt AM-GM ta có

$a+b+c=c+(a+b)\ge 2\sqrt{c(a+b)}$

$\Rightarrow 1 \ge 2\sqrt{c(a+b)}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

Dấu đăng thức xảy ra khi $a=b=\frac{1}{4}$ $c=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 10-03-2013 - 12:45

[Christian Goldbach]

Bài 5 :
CMR với mọi x$\in \mathbb{R}$ , ta có : $\left ( \frac{12}{5} \right )^x+\left ( \frac{15}{4} \right )^x+\left ( \frac{20}{3} \right )^x\geqslant 3^x+4^x+5^x$

[Christian Goldbach]

Bài 6 :
Cho x,y,z>0 t/m: xy$xy\sqrt{xy}+xz\sqrt{xz}+yz\sqrt{yz}=1$. CM $\frac{x^6}{x^3+y^3}+\frac{y^6}{z^3+y^3}+\frac{z^6}{x^3+z^3}\geqslant \frac{1}{2}$

[Christian Goldbach]

Bài 7:
Cho x,y>0.CM $\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\leqslant \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right )$

[25 minutes]

Bài 6 :
Cho x,y,z>0 t/m: xy$xy\sqrt{xy}+xz\sqrt{xz}+yz\sqrt{yz}=1$. CM $\frac{x^6}{x^3+y^3}+\frac{y^6}{z^3+y^3}+\frac{z^6}{x^3+z^3}\geqslant \frac{1}{2}$

Áp dụng bđt B.C.S ta có :
$\sum \frac{a^6}{b^3+c^3}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(a^3+b^3+c^3)}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2}$
Theo giả thiết ta có :
$1= \sum xy\sqrt{xy}\leq \sum xy.\frac{x+y}{2}$
Áp dụng AM-GM ta luôn có $\left\{\begin{matrix}
x^2y+y^2z+z^2x \leq x^3+y^3+z^3\\ xy^2+yz^2+zx^2 \leq x^3+y^3+z^3

\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 1 \leq \sum xy.\frac{x+y}{2} \leq x^3+y^3+z^3$
Do đó $\sum \frac{a^6}{b^3+c^3} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{2} \geq \frac{1}{2}$

[25 minutes]

Bài 5 :
CMR với mọi x$\in \mathbb{R}$ , ta có : $\left ( \frac{12}{5} \right )^x+\left ( \frac{15}{4} \right )^x+\left ( \frac{20}{3} \right )^x\geqslant 3^x+4^x+5^x$

Áp dụng AM-GM ta có :
$(\frac{12}{5})^x+(\frac{15}{4})^x\geq 2.3^x$
$(\frac{15}{4})^x+(\frac{20}{3})^x\geq 2.5^x$
$(\frac{20}{3})^x+(\frac{12}{5})^x\geq 2.4^x$
Cộng 3 bđt trên lại ta có ngay điều phải chứng minh
Dấu = xảy ra khi $x=0$

[Christian Goldbach]

Bài 8:
Cho x,y,z $\in$[0,1] CMR : $\left ( 2^x+2^y+2^z \right )\left ( 2^{-x}+2^{-y}+2^{-z} \right )\leqslant \frac{81}{8}$

[Christian Goldbach]

Bài 7:
Cho x,y>0.CM $\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\leqslant \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right )$

TheoBĐT AM-GM ta có$\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\leqslant \frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x.y^2.x^2}}=\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}.xy}=\frac{1}{xy}\leqslant \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right )$

[Christian Goldbach]

Bài 9:Cho a,b >=0
CMR: $\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^8\geqslant64ab(a+b)^2$

[Christian Goldbach]

Bài 10:
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác có chu vi 2:
CM: $\frac{57}{27}\leqslant a^2+b^2+c^2+2abc< 2$

[Christian Goldbach]

Bài 11:
cho a,b,c dương t/m:
$a+b+c=2$ CM: $\frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\frac{cb}{\sqrt{2a+cb}}+\frac{ac}{\sqrt{2b+ac}}$

[Christian Goldbach]

Bài 12:Cho a,b,c dương.CM: $1+\frac{3}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{6}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrMathCSKH0110: 10-03-2013 - 20:19

[Christian Goldbach]

Bài 13:Xho a,b,c>0.CM : $\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leqslant \frac{a+b+c}{2abc}$