Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$
Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$
Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$
Bắt đầu bởi Phanh, 10-03-2013 - 13:51
#2
Đã gửi 10-03-2013 - 14:02
Tienanh tx
-
- Thành viên
-
- 360 Bài viết
$\Omega \textbf{Bùi Tiến Anh} \Omega$
$\oplus$ Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} + 1 \ge 2x}\\
{{y^2} + 1 \ge 2y}\\
{{y^2} + 1 \ge 2z}\\
{2({x^2} + {y^2} + {z^2}) \ge 2(xy + yz + xz)}
\end{array}} \right.$
Cộng vế theo vế các BĐT trên, ta được:
$3(x^2+y^2+z^2)+3 \ge 2(x+y+z+xy+xz+yz)$
$\Longrightarrow$ $x^2+y^2+z^2 \ge 3 $
$QED$
{{x^2} + 1 \ge 2x}\\
{{y^2} + 1 \ge 2y}\\
{{y^2} + 1 \ge 2z}\\
{2({x^2} + {y^2} + {z^2}) \ge 2(xy + yz + xz)}
\end{array}} \right.$
Cộng vế theo vế các BĐT trên, ta được:
$3(x^2+y^2+z^2)+3 \ge 2(x+y+z+xy+xz+yz)$
$\Longrightarrow$ $x^2+y^2+z^2 \ge 3 $
$QED$
- Oral1020, DarkBlood, Anh Vinh và 2 người khác yêu thích
$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$
$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$
$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$
$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$
#3
Đã gửi 10-03-2013 - 15:01
Christian Goldbach
-
- Thành viên
-
- 351 Bài viết
Sĩ quan
Ta luôn có :Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$
Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$
$\left ( x-1 \right )^2+(y-1)^2+(z-1)^2+(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x^2)\geqslant 0 \forall x,y,z\in \mathbb{R} \Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)-2(x+y+z+xy+xz+yz)\geqslant 0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geqslant 3$
- Tienanh tx, Math269999 và Phanh thích
Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.
#4
Đã gửi 18-03-2013 - 16:02
nguyencuong123
-
- Thành viên
-
- 587 Bài viết
Thiếu úy
TA CÓ $x^{2}+1\geq 2x;y^{2}+1\geq 2y;z^{2}+1\geq 2z;x^{2}+y^{2}\geq 2xy; x^{2}+z^{2}\geq 2xz;y^{2}+z^{2}\geq 2yz$.CỘNG VẾ THEO VẾ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN SU RA ĐPCM
- Nguyen Tho The Cuong và nguyenhieu123 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
