Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$
Tìm GTNN của $M=x^2+y^2+z^2$
Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$. Tìm GTNN của $M=x^2+y^2+z^2$
Bắt đầu bởi jb7185, 10-03-2013 - 19:07
#2
Đã gửi 10-03-2013 - 20:28
dtvanbinh
-
- Thành viên
-
- 122 Bài viết
Trung sĩ
bài này hình như hôm lâu có bạn nào pm hỏi mình thì phải
ta có
điều kiện $\Leftrightarrow (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=1$
Theo AM-GM ta có
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx$
nên $x+y+z\geq 0$
$xy+yz+zx=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\frac{1}{x+y+z}$
Thay vào ta có
$M=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^{2}-2(M-\frac{1}{x+y+z})$
$\Leftrightarrow 3M=(x+y+z)^{2}+\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{x+y+z}\geq 3$
Vậy $Min=1$
ta có
điều kiện $\Leftrightarrow (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=1$
Theo AM-GM ta có
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx$
nên $x+y+z\geq 0$
$xy+yz+zx=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\frac{1}{x+y+z}$
Thay vào ta có
$M=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^{2}-2(M-\frac{1}{x+y+z})$
$\Leftrightarrow 3M=(x+y+z)^{2}+\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{x+y+z}\geq 3$
Vậy $Min=1$
- jb7185, huynhviectrung, Atu và 1 người khác yêu thích
$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$
$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$
#3
Đã gửi 15-03-2013 - 22:42
Katyusha
-
- Thành viên
-
- 461 Bài viết
Sĩ quan
Dấu "=" xảy ra khi nào vậy bạn$M=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^{2}-2(M-\frac{1}{x+y+z})$
$\Leftrightarrow 3M=(x+y+z)^{2}+\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{x+y+z}\geq 3$
Vậy $Min=1$
#4
Đã gửi 16-03-2013 - 09:40
dtvanbinh
-
- Thành viên
-
- 122 Bài viết
Trung sĩ
khi $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện đề bài và $x+y+z=1$
$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$
$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
