Chủ đề này có 2 trả lời

[z0zLongBongz0z]

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CMR
$\frac{c}{1+ab}+\frac{b}{1+ac}+\frac{a}{1+bc}\geq 1$

[Oral1020]

Ta có:

$\sum \dfrac{c}{1+ab}= \sum \dfrac{c^4}{c^3+abc^3} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+abc^3+a^3bc+ab^3c}$(*)

$= \frac{1}{a^3+b^3+c^3+abc(a^2+b^2+c^2)} = \frac{1}{a^3+b^3+c^3+abc}$. 

(*) Theo bất đẳng thức $AM-GM$. Ta có điều phải chứng minh thành:

$a^3 + b^3 + c^3 + abc \le 1$.

 $\Longleftrightarrow(a^3 + b^3 + c^3 + abc)^2 \le (a^2+b^2+c^2)^3$.

 $ \Longleftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^3 - (a^3 + b^3 + c^3 + abc)^2$ = 

$3\sum_{sym}{a^4b^2} - \sum_{sym}{a^4bc} - \sum_{sym}{a^3b^3} + 5a^2b^2c^2$.

Cái này luôn $\ge 0$ bởi bất đẵng thức Muirhead. 

Dấu $=$ xảy ra khi $a=1;b=c=0$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral31211999: 24-03-2013 - 21:36

[25 minutes]

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CMR
$\frac{c}{1+ab}+\frac{b}{1+ac}+\frac{a}{1+bc}\geq 1$

Ta có thể giả sử $a \geq b \geq c \geq 0$

Do đó ta có $\left\{\begin{matrix} a \geq b \geq c\\ \frac{1}{1+bc} \geq \frac{1}{1+ac} \geq \frac{1}{1+ab} \end{matrix}\right.$

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 bộ đơn điệu trên ta có 

            $\sum \frac{a}{1+bc} \geq \frac{a+b+c}{3}(\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}+\frac{1}{1+ab}) \geq \frac{a+b+c}{3}.\frac{9}{3+(ab+bc+ac)}=\frac{3(a+b+c)}{3+(ab+bc+ac)}$

Lại có $a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-1}{2}$

Do đó ta cần chứng minh $\frac{3(a+b+c)}{3+\frac{(a+b+c)^2-1}{2}} \geq 1$

                       $\Leftrightarrow 6(a+b+c) \geq (a+b+c)^2+5$

                       $\Leftrightarrow (a+b+c-5)(a+b+c-1) \leq 0$

Do $a,b,c \geq 0, a^2+b^2+c^2=1$ nên bất đẳng thức trên luôn đúng do 

                     $a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt{3}<5$

Và                 $a+b+c \geq a^2+b^2+c^2=1$ do $a,b,c \in \left [ 0;1 \right ]$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(0;0;1)$ và các hoán vị

Bài toán mở rộng : Cho $a,b,c \geq 0$ và $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng :

                       $1 \leq \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac} +\frac{c}{1+ab} \leq \sqrt{2}$