Chủ đề này có 4 trả lời

[timmy]

a)Tìm GTLN của A=$-5x^{2}-20y^{2}+4xy+4x+8y+12$
b)Tìm GTNN của B=$\frac{x^{2}-2x+2008}{x^{2}}$.
c)Tìm GTLN và GTNN của C=$\frac{x^{2}+1}{x^{2}-x+1}$.
d)Tìm GTNN của D=$\frac{x^{4}+4x^{2}+5}{x^{2}+2}$.
e)Cho a,b,c,$\geq$0.Chứng minh:$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$.

[Oral1020]

b)
BIến đổi thành:
$\dfrac{(x-2008)^2}{2008x^2}+\dfrac{2007}{2008}$
c) GTNN:
$\dfrac{(x+1)^2}{3(x^2-x+1)}+\dfrac{2}{3}$
GTLN:
$-\dfrac{(x-1)^2}{x^2-x+1}+2$
d)$\dfrac{x^2(2x^2+3)}{2(x^2+2)}+\dfrac{5}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral31211999: 13-03-2013 - 16:52

[vutuanhien]

e) Theo nguyên lí Đi-rích-lê thì trong 3 số a-1, b-1, c-1 phải có 2 số có cùng dấu. Không mất tổng quát, giả sử đó là a-1 và b-1. Ta có $2c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow 2abc+2c\geq 2ca+2bc$. Ta chỉ cần cm $a^2+b^2+c^2+1\geq 2ab+2c\Leftrightarrow (a-b)^2+(c-1)^2\geq 0$
(hiển nhiên đúng). BĐT đã được chứng minh

[vutuanhien]

Cách 2:Đặt $\sqrt[3]{a}=x, \sqrt[3]{b}=y, \sqrt[3]{c}=z$. BĐT cần chứng minh trở thành $x^6+y^6+z^6+2x^3y^3z^3+1\geq 2(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)$. Theo BĐT Schur:$x^6+y^6+z^6+3x^2y^2z^2\geq \sum x^2y^2(x^2+y^2)\geq 2\sum x^3y^3$ (BĐT AM-GM). Mặt khác, theo BĐT AM-GM:$2x^3y^3z^3+1=x^3y^3z^3+x^3y^3z^3+1\geq 3x^2y^2z^2$. Cộng 2 BĐT này lại ta có ngay đpcm.
a)-A=$5\left [ x-\frac{2}{5}(y+1) \right ]^2+\frac{96(y-\frac{1}{4})^2}{5}-14\geq -14\Rightarrow A\leq 14$
Đẳng thức xảy ra khi a=0,5, b=0,25

[buiminhhieu]

câu e:
Trong 3 số 1-a , 1-b ,1-c luân tồn tại 2 số cùng dấu giả sử 1-b và 1-c cùng dấu
xét hiệu:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc-2.(ab+ac+bc)=(a-1)^{2}+(b-c)^{2}+2a+2abc-2(ab+ac) =(a-1)^{2}+(b-c)^{2}+2a(1-b).(1-c)\geq 0$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$a=b=c=1