Cho các số $x,y,z$ không âm thỏa mãn $x+y+z=1$
Tìm Min $2(x^3+y^3+z^3)+x^2+y^2+z^2+13xyz$
#1
Đã gửi 15-03-2013 - 22:23
barcavodich
-
- Thành viên
-
- 449 Bài viết
Sĩ quan
#2
Đã gửi 16-03-2013 - 11:01
nguyenthehoan
-
- Thành viên
-
- 392 Bài viết
Sĩ quan
Sử dụng hằng đẳng thức
$\sum x^{3}=(\sum x)^{3}-3\prod (y+z)=(\sum x)^{3}-3((\sum x)(\sum yz)-xyz)$.
Biểu thức thức viết lại thành
A=$2-6(xy+yz+zx)+19xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}$=$3+19xyz-8(xy+yz+zx)$
theo bdt shur
$(\sum x)^{3}+9xyz\geq 4(\sum x)(\sum yz)\Rightarrow 1+9xyz\geq 4(\sum yz)$
suy ra
A$\geq 1+xyx\geq 1$
Vậy minA=1 Khi (x,y,z)=($\frac{1}{2},\frac{1}{2},0$) và có hoán vị.
$\sum x^{3}=(\sum x)^{3}-3\prod (y+z)=(\sum x)^{3}-3((\sum x)(\sum yz)-xyz)$.
Biểu thức thức viết lại thành
A=$2-6(xy+yz+zx)+19xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}$=$3+19xyz-8(xy+yz+zx)$
theo bdt shur
$(\sum x)^{3}+9xyz\geq 4(\sum x)(\sum yz)\Rightarrow 1+9xyz\geq 4(\sum yz)$
suy ra
A$\geq 1+xyx\geq 1$
Vậy minA=1 Khi (x,y,z)=($\frac{1}{2},\frac{1}{2},0$) và có hoán vị.
- sieutoan99 yêu thích
#3
Đã gửi 16-03-2013 - 11:37
mat troi be nho
-
- Thành viên
-
- 26 Bài viết
Binh nhất
Đặt $x+y+z=p=1$,$xy+yz+zx=q$,$xyz=r$
và dùng Schur bậc 2 là ra
và dùng Schur bậc 2 là ra
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
