Chủ đề này có 4 trả lời

[mrjackass]

Cho $x,y,z > 0$. Chứng minh rằng
$28(x^4+y^4+z^4) \geq (x+y+z)^4 + (y+z-x)^4 + (z+x-y)^4 + (x+y-z)^4$
Đây là câu IV đề thi thử Toán điều kiện chuyên KHTN năm nay (hnay vừa thi về)

[BlackSelena]

Cho $x,y,z > 0$. Chứng minh rằng
$28(x^4+y^4+z^4) \geq (x+y+z)^4 + (y+z-x)^4 + (z+x-y)^4 + (x+y-z)^4$
Đây là câu IV đề thi thử Toán điều kiện chuyên KHTN năm nay (hnay vừa thi về)

Cách làm của mình và cũng trùng với đáp án, áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)^4 + (a-b)^4 = 2(a^4 + 6a^2b^2+b^4)$
Ta có: $(x+y+z)^4 + (x+y-z)^4 = 2 [ (x+y)^4 + z^4 + 6z^2(x+y)^2 ]$
$(y+z-x)^4 + (z+x-y)^4 =2 [ (x-y)^4 + z^4 + 6z^2(x-y)^2 ]$
Vậy $VT = 4( \sum x^4 + 6\sum x^2y^2)$
Bdt cần chứng minh tương đương $x^4+y^4+z^4 \geq x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2$, tới đây dễ dàng.
__________________________
P/s: lúc trong phòng thi bị hoảng bài này, đến lúc 20 - 15' cuối mới làm ra, đâm ra trình bày hơi ẩu mặc dù vẫn đúng về căn bản.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 16-03-2013 - 22:53

[mrjackass]

Cách làm của mình và cũng trùng với đáp án, áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)^4 + (a-b)^4 = 2(a^4 + 6a^2b^2+b^4)$
Ta có: $(x+y+z)^4 + (x+y-z)^4 = 2 [ (x+y)^4 + z^4 + 6z^2(x+y)^2 ]$
$(y+z-x)^4 + (z+x-y)^4 =2 [ (x-y)^4 + z^4 + 6z^2(x-y)^2 ]
Vậy $VT = 4( \sum x^4 + 6\sum x^2y^2)$
Bdt cần chứng minh tương đương $x^4+y^4+z^4 \geq x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2$, tới đây dễ dàng.
__________________________
P/s: lúc trong phòng thi bị hoảng bài này, đến lúc 20 - 15' cuối mới làm ra, đâm ra trình bày hơi ẩu mặc dù vẫn đúng về căn bản.

Cách này hay hơn nhiều. Cách mình hơi dài như sau:
Đặt $y+z-x=a$, $z+x-y=b$, $x+y-z=c$ thì đpcm tương đương $\frac{7}{4}[(b+c)^4+(c+a)^4+(a+b)^4] \geq (a+b+c)^4+a^4+b^4+c^4$
Nhân chéo, phá $(a+b+c)^4$, rồi đổi vế thì thành $(b+c)^4+(c+a)^4+(a+b)^4 \geq 16abc(a+b+c)$
Đoạn này thì đơn giản rồi. Áp dụng AM-GM:
$(b+c)^4+(c+a)^4+(a+b)^4 =[(b+c)^2]^2+[(c+a)^2]^2+[(a+b)^2]^2 \geq (4bc)^2+(4ca)^2 (4ab)^2 = 16(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \geq 16abc(a+b+c)$
Khi thi thì mình bĩnh tĩnh hơn nên chịu phá $(a+b+c)^4$ với vế trái ra. Nói chung là bài hnay mình khá hài lòng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mrjackass: 17-03-2013 - 07:36

[Phanh]

Cho $x,y,z > 0$. Chứng minh rằng
$28(x^4+y^4+z^4) \geq (x+y+z)^4 + (y+z-x)^4 + (z+x-y)^4 + (x+y-z)^4$
Đây là câu IV đề thi thử Toán điều kiện chuyên KHTN năm nay (hnay vừa thi về)

Cuộc thi này do trường bạn hay trường KHTN tổ chức?

[duc12116]

Cách làm của mình và cũng trùng với đáp án, áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)^4 + (a-b)^4 = 2(a^4 + 6a^2b^2+b^4)$
Ta có: $(x+y+z)^4 + (x+y-z)^4 = 2 [ (x+y)^4 + z^4 + 6z^2(x+y)^2 ]$
$(y+z-x)^4 + (z+x-y)^4 =2 [ (x-y)^4 + z^4 + 6z^2(x-y)^2 ]$
Vậy $VT = 4( \sum x^4 + 6\sum x^2y^2)$
Bdt cần chứng minh tương đương $x^4+y^4+z^4 \geq x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2$, tới đây dễ dàng.
__________________________
P/s: lúc trong phòng thi bị hoảng bài này, đến lúc 20 - 15' cuối mới làm ra, đâm ra trình bày hơi ẩu mặc dù vẫn đúng về căn bản.

Cậu post đề thi lên được không, nghe tin chiều đó thi thử tớ định đi, khổ nỗi lại trùng ca học them nên đành nghỉ. À mà cậu năm nay thi khtn hả