Chủ đề này có 1 trả lời

[BlackSelena]

Cho tam giác $ABC$ , một điểm $M$ nằm trong tam giác. Gọi $AM , BM , CM$ lần lượt cắt các cạnh $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$ . Chứng minh rằng $MD + ME + MF <  \max\begin{Bmatrix} AB;AC;BC\end{Bmatrix}$

[L Lawliet]

Cho tam giác $ABC$ , một điểm $M$ nằm trong tam giác. Gọi $AM , BM , CM$ lần lượt cắt các cạnh $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$ . Chứng minh rằng $MD + ME + MF <  \max\begin{Bmatrix} AB;AC;BC\end{Bmatrix}$

Lời giải. Không mất tính tổng quát ta giả sử cạnh lớn nhất là cạnh $BC$.

Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác $ABC$, cắt các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ tại các điểm $A_{1}$ và $A_{2}$, $B_{1}$ và $B_{2}$, $C_{1}$ và $C_{2}$ tương ứng. Trong các tam giác $A_{1}A_{2}M$, $B_{1}B_{2}M$, $C_{1}C_{2}M$ các cạnh lớn nhất tương ứng là $A_{1}A_{2}$, $B_{1}M$, $C_{2}M$. Do đó $MD<A_{1}A_{2}$, $ME<B_{1}M$, $MF<C_{2}M$, tức là $MD+ME+MF<A_{1}A_{2}+B_{1}O+C_{2}O=A_{1}A_{2}+CA_{2}+BA_{1}=BC$.