12 replies to this topic

[Khanh 6c Hoang Liet]

Chứng minh rằng :
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ với mọi $a, b$ dương.
P/s : Làm theo cách lớp $6$ nhé.

[vnmath98]

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}}{ab}\geq 2\Leftrightarrow \frac{(a-b)^{2}}{ab}\geq 0$
luôn đúng

[Khanh 6c Hoang Liet]

Lớp $6$ không học về hằng đẳng thức và cách biến đổi như vậy đâu. Cách làm như sau :
Không mất tổng quát, giả sử $a \geq b > 0$.
Khi đó ta có thể viết $a = b + m$ với $m \geq 0$.
Ta có :
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{b + m}{b} + \frac{b}{b + m} \geq 1 + 1 = 2$.

[Oral1020]

Lớp $6$ không học về hằng đẳng thức và cách biến đổi như vậy đâu. Cách làm như sau :
Không mất tổng quát, giả sử $a \geq b > 0$.
Khi đó ta có thể viết $a = b + m$ với $m \geq 0$.
Ta có :
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{b + m}{b} + \frac{b}{b + m} \geq 1 + 1 = 2$.

Là sao vậy em Cái cuối làm sao vậy ? Áp dụng $AM-GM$ à

Do $m \geq 0$ nên $b + m \geq b$.
 

Ý anh là cái $\dfrac{b}{b+m}$ kìa.

Edited by Oral31211999, 23-03-2013 - 14:22.

[Khanh 6c Hoang Liet]

Nếu cho điều kiện của $a$ và $b$ là khác $0$ thì ta có bài toán sau :
Chứng minh rằng :
$\left | \frac{a}{b} \right | + \left | \frac{b}{a} \right | \geq 2$.

[Khanh 6c Hoang Liet]

Là sao vậy em Cái cuối làm sao vậy ? Áp dụng $AM-GM$ à

Do $m \geq 0$ nên $b + m \geq b$.
 

[nguyencuong123]

Chứng minh rằng :
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ với mọi $a, b$ dương.
P/s : Làm theo cách lớp $6$ nhé.

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2.\frac{a}{b}.\frac{b}{a}=\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right )^{2}\geq 0$

[Khanh 6c Hoang Liet]

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2.\frac{a}{b}.\frac{b}{a}=\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right )^{2}\geq 0$

Nhưng anh ơi lớp 6 chưa học tới phép căn và cũng chưa có khả năng bién đổi như vậy đâu.

[nguyencuong123]

Nhưng anh ơi lớp 6 chưa học tới phép căn và cũng chưa có khả năng bién đổi như vậy đâu.

thế làm thế này đi: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^{2}-b^{2}}{ab}-\frac{2ab}{ab}=\frac{\left ( a-b \right )^{2}}{ab}\geq 0$

[Khanh 6c Hoang Liet]

Lớp 6 chưa học hằng đẳng thức.

[Trang Luong]

Lớp $6$ không học về hằng đẳng thức và cách biến đổi như vậy đâu. Cách làm như sau :
Không mất tổng quát, giả sử $a \geq b > 0$.
Khi đó ta có thể viết $a = b + m$ với $m \geq 0$.
Ta có :
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{b + m}{b} + \frac{b}{b + m} \geq 1 + 1 = 2$.

Cho mình hỏi : Tại sao ;
$\frac{b}{b+m}+\frac{m+b}{b}=\frac{b}{b+m}+\frac{m}{b}+1\geq 2$

[Khanh 6c Hoang Liet]

Có thể là em ghi nhầm $m$ thành $b$. Mong mọi người thứ lỗi.

Em xin chứng minh lại :

Không mất tỏng quát, giả sử $a \geq b$. Khi đó ta có thể viết $a = b + m$ $(m \geq 0)$. Ta có :

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{b + m}{b} + \frac{b}{b + m} = 1 + \frac{m}{b} + \frac{b}{b + m} \geq 1 + \frac{m}{b + m} + \frac{b}{b + m} = 1 + 1 = 2$.

Vậy, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ với mọi $a$ và $b$ dương.

[Trang Luong]

Nếu cho điều kiện của $a$ và $b$ là khác $0$ thì ta có bài toán sau :
Chứng minh rằng :
$\left | \frac{a}{b} \right | + \left | \frac{b}{a} \right | \geq 2$.

Bài này có thể cm như sau :

$A=\left | \frac{a}{b} \right |+\left | \frac{b}{a} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}+\frac{\left | b \right |}{\left | a \right |}$

Đặt $\left | a \right |=m,\left | b \right |=n(m,n>0)$

$\Rightarrow A=\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$

Làm như phần trên..

Cảm ơn mọi người đã tham khảo