$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$
#1
Đã gửi 22-03-2013 - 17:06
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ với mọi $a, b$ dương.
P/s : Làm theo cách lớp $6$ nhé.
- nguyen tien dung 98 và vnmath98 thích
#2
Đã gửi 22-03-2013 - 17:13
luôn đúng
- nguyen tien dung 98 yêu thích
#3
Đã gửi 23-03-2013 - 14:10
Không mất tổng quát, giả sử $a \geq b > 0$.
Khi đó ta có thể viết $a = b + m$ với $m \geq 0$.
Ta có :
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{b + m}{b} + \frac{b}{b + m} \geq 1 + 1 = 2$.
#4
Đã gửi 23-03-2013 - 14:12
Lớp $6$ không học về hằng đẳng thức và cách biến đổi như vậy đâu. Cách làm như sau :
Không mất tổng quát, giả sử $a \geq b > 0$.
Khi đó ta có thể viết $a = b + m$ với $m \geq 0$.
Ta có :
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{b + m}{b} + \frac{b}{b + m} \geq 1 + 1 = 2$.
Là sao vậy em Cái cuối làm sao vậy ? Áp dụng $AM-GM$ à
Do $m \geq 0$ nên $b + m \geq b$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral31211999: 23-03-2013 - 14:22
- Anh Vinh yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#5
Đã gửi 23-03-2013 - 14:13
Chứng minh rằng :
$\left | \frac{a}{b} \right | + \left | \frac{b}{a} \right | \geq 2$.
- Oral1020 và nguyenhieu123 thích
#6
Đã gửi 23-03-2013 - 14:15
Là sao vậy em Cái cuối làm sao vậy ? Áp dụng $AM-GM$ à
Do $m \geq 0$ nên $b + m \geq b$.
- nguyenhieu123 yêu thích
#7
Đã gửi 24-03-2013 - 11:35
Chứng minh rằng :
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ với mọi $a, b$ dương.
P/s : Làm theo cách lớp $6$ nhé.
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2.\frac{a}{b}.\frac{b}{a}=\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right )^{2}\geq 0$
- Nguyen Tho The Cuong và nguyenhieu123 thích
#8
Đã gửi 24-03-2013 - 20:49
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2.\frac{a}{b}.\frac{b}{a}=\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right )^{2}\geq 0$
Nhưng anh ơi lớp 6 chưa học tới phép căn và cũng chưa có khả năng bién đổi như vậy đâu.
#9
Đã gửi 24-03-2013 - 20:59
Nhưng anh ơi lớp 6 chưa học tới phép căn và cũng chưa có khả năng bién đổi như vậy đâu.
thế làm thế này đi: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^{2}-b^{2}}{ab}-\frac{2ab}{ab}=\frac{\left ( a-b \right )^{2}}{ab}\geq 0$
- nguyenhieu123 yêu thích
#10
Đã gửi 24-03-2013 - 21:26
Lớp 6 chưa học hằng đẳng thức.
#11
Đã gửi 25-03-2013 - 22:03
Lớp $6$ không học về hằng đẳng thức và cách biến đổi như vậy đâu. Cách làm như sau :
Không mất tổng quát, giả sử $a \geq b > 0$.
Khi đó ta có thể viết $a = b + m$ với $m \geq 0$.
Ta có :
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{b + m}{b} + \frac{b}{b + m} \geq 1 + 1 = 2$.
Cho mình hỏi : Tại sao ;
$\frac{b}{b+m}+\frac{m+b}{b}=\frac{b}{b+m}+\frac{m}{b}+1\geq 2$
Issac Newton
#12
Đã gửi 26-03-2013 - 06:27
Có thể là em ghi nhầm $m$ thành $b$. Mong mọi người thứ lỗi.
Em xin chứng minh lại :
Không mất tỏng quát, giả sử $a \geq b$. Khi đó ta có thể viết $a = b + m$ $(m \geq 0)$. Ta có :
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{b + m}{b} + \frac{b}{b + m} = 1 + \frac{m}{b} + \frac{b}{b + m} \geq 1 + \frac{m}{b + m} + \frac{b}{b + m} = 1 + 1 = 2$.
Vậy, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ với mọi $a$ và $b$ dương.
- vnmath98 yêu thích
#13
Đã gửi 26-03-2013 - 22:25
Nếu cho điều kiện của $a$ và $b$ là khác $0$ thì ta có bài toán sau :
Chứng minh rằng :
$\left | \frac{a}{b} \right | + \left | \frac{b}{a} \right | \geq 2$.
Bài này có thể cm như sau :
$A=\left | \frac{a}{b} \right |+\left | \frac{b}{a} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}+\frac{\left | b \right |}{\left | a \right |}$
Đặt $\left | a \right |=m,\left | b \right |=n(m,n>0)$
$\Rightarrow A=\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$
Làm như phần trên..
Cảm ơn mọi người đã tham khảo
- pham anh quan, Khanh 6c Hoang Liet, LNH và 7 người khác yêu thích
Issac Newton
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh