Chủ đề này có 3 trả lời

[vitconvuitinh]

$x,y,z>0$ thoả $x+y+z\geqslant 6$
Tìm Min của $P=\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}$

[luuvanthai]

$P=\frac{x^{4}}{xy+yz}+\frac{y^{4}}{yx+yz}+\frac{z^{4}}{zx+zy}$
$\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{2(xy+yz+zx)}$
$\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 23-03-2013 - 16:24

[25 minutes]

$x,y,z>0$ thoả $x+y+z\geqslant 6$
Tìm Min của $P=\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}$

Cách 1 :
Ta có : $P=\frac{x^4}{xy+xz}+\frac{y^4}{xy+yz}+\frac{z^4}{xz+yz}$
Áp dụng bât đẳng thức B.C.S ta có 
             $P \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(xy+yz+xz)} \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^2+y^2+z^2)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}$
Lại có $x^2+y^2+z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3} \geq 12$
     $\Rightarrow P \geq 6$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=2$
Cách 2 : 
Áp dụng AM-GM ta có $\frac{x^3}{y+z}+\frac{x(y+z)}{4} \geq x^2$
Tương tự 2 bđt còn lại rồi sử dụng $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+xz$ 
                                                       $x^2+y^2+z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$

[vnmath98]

AM-GM $\frac{x^3}{y+z}+\frac{(y+z)}{2}+2\geq 3x$
Những bất đẳng thức còn lại tương tự