Chủ đề này có 3 trả lời

[200dong]

Tính các giới hạn sau bằng đạo hàm: 

a) $\lim_{x \to a}\frac{x^n - a^n}{x - a}$


b) $\lim_{x \to 1}\frac{x^n - nx + (n-1)}{(x-1)^2}$


c) $\lim_{x \to 1}\frac{x + x^2 + ... + x^n - n}{x - 1}$


d) $\lim_{x \to a}\frac{(x^n - a^n) - na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}$






.

[hoangkkk]

a) Đặt $f\left ( x \right )=x^n$, ta có :

$$\lim_{x \to a}\frac{x^n - a^n}{x - a}=\lim_{x \to a}\frac{f\left ( x \right )-\left ( a \right )}{x-a}=f'\left ( a \right )=na^{n-1}$$

 

b) Ta có :

$$\lim_{x \to 1}\frac{x^{n}-1+n\left ( 1-x \right )}{\left ( x-1 \right )^2}=\lim_{x \to 1}\frac{\left ( x-1 \right )\left ( x^{n-1}+x^{n-2}+...+1 \right )+n(1-x)}{\left ( x-1 \right )^2}$$

$$=\lim_{x \to 1}\frac{\left ( x-1 \right )\left ( x^{n-1}+x^{n-2}+...+1-n \right )}{\left ( x-1 \right )^2}=\lim_{x \to 1}\frac{x^{n-1}+x^{n-2}+...+1-n}{x-1}$$

$$=\lim_{x \to 1}\frac{\left ( x^{n-1}-1 \right )+\left ( x^{n-2}-1 \right )+...+\left ( x-1 \right )}{x-1}=\sum_{i=1}^{n-1}=\lim_{x \to 1}\frac{x^i-1}{x-1}=f_{i}'(1)$$

$$=1+2+...+n-1=\frac{\left ( n-1 \right )n}{2}$$

c) Ta có :

$$\lim_{x \to 1}\frac{x-1+x^2-1+...x^n-1}{x-1}=\sum_{i=1}^{n}\lim_{x \to 1}\frac{x^i-1}{x-1}=\sum_{i=1}^{n}f_{i}'(1)=\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$$

 

d)Ta có :

$$\lim_{x \to a}\frac{(x^n - a^n) - na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}=\lim_{x \to a}\frac{\left ( x^{n-1}-a^{n-1} \right )+\left ( ax^{n-2}-a^{n-1} \right )+...+\left ( a^{n-1}-a^{n-1} \right )}{x-a}$$

$$=\sum_{i=0}^{n-1}\lim_{x \to a}\frac{a^{i}x^{n-i-1}-a^{n-1}}{x-a}$$

Đặt $f_i\left ( x \right )=a^{i}x^{n-i-1}$, $i=1,2,..,n-1$, như vậy ta được :

$$\sum_{i=0}^{n-1}\lim_{x \to a}\frac{a^{i}x^{n-i-1}-a^{n-1}}{x-a}=f_{i}'(a)=\sum_{i=0}^{n-1}a^i\left ( n-i-1 \right )a^{n-i-2}=a^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\left ( n-i-1 \right )=\frac{n(n-1)}{2}a^{n-1}$$

 

[200dong]

b) $$=\lim_{x \to 1}\frac{\left ( x^{n-1}-1 \right )+\left ( x^{n-2}-1 \right )+...+\left ( x-1 \right )}{x-1}=\sum_{i=1}^{n-1}=\lim_{x \to 1}\frac{x^i-1}{x-1}=f_{i}'(1)$$

$$=1+2+...+n-1=\frac{\left ( n-1 \right )n}{2}$$

 

d) Đặt $f_i\left ( x \right )=a^{i}x^{n-i-1}$, $i=1,2,..,n-1$, như vậy ta được :

$$\sum_{i=0}^{n-1}\lim_{x \to a}\frac{a^{i}x^{n-i-1}-a^{n-1}}{x-a}=f_{i}'(a)=\sum_{i=0}^{n-1}a^i\left ( n-i-1 \right )a^{n-i-2}=a^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\left ( n-i-1 \right )=\frac{n(n-1)}{2}a^{n-1}$$

 

 

Phần b chỗ anh lấy $\sum$ em không hiểu, em chưa học cái này, còn cách làm nào khác dễ hiểu hơn k anh? Hộ em vs!

 

Còn câu d thì khó quá chỗ anh đặt em chả hiểu gì cả. Tính toán không biết tính...

[hoangkkk]

Chỗ lấy tổng chỉ là mình tách thành các giới hạn riêng lẻ tiện cho việc tính toán thôi. Còn một cách khác là minh khử cái mẫu thức đi bằng đẳng thức :

$$a^n-b^n=\left ( a-b \right )\left ( a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1} \right )$$