Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c =1. CMR:
$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$
$\sum \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}\geq 3$
Bắt đầu bởi mango, 26-03-2013 - 12:12
#2
Đã gửi 26-03-2013 - 12:19
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c =1. CMR:
$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$
Ta có $\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\frac{a+b}{\sqrt{ab+c(a+b+c)}}=\frac{a+b}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$
Tương tự 2 đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có
$\sum \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\sum \frac{a+b}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$
Đến đây chỉ cần áp dụng AM-GM ta có $\sum \frac{a+b}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\geq 3$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
- donghaidhtt và mango thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
