Chủ đề này có 2 trả lời

[Takitori Chishikato]

Cho đa thức:

$f(x)= a_{2004}x^{2004}+ a_{2003}x^{2003}+...+ a_{1}x + a_{0} $ thoả mãn $ f(1)= -1, f(2003)= 4$.

Chứng minh tồn tại cấp số cộng $\div a,b,c,   a<b<c$   thoả mãn   $f(a)+f(b)+f(c) = 0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Takitori Chishikato: 26-03-2013 - 20:24

[Ispectorgadget]

Cho đa thức:

$f(x)= a_{2004}x^{2004}+ a_{2003}x^{2003}+...+ a_{1}x + a_{0} $ thoả mãn $ f(1)= -1, f(2003)= 4$.

Chứng minh tồn tại cấp số cộng $\div a,b,c,   a<b<c$   thoả mãn   $f(a)+f(b)+f( c) = 0$.

Do $f(x)$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên $\mathbb{R}$

 

Do $f(1).f(2003)<0$ nên tồn tại $\delta>0$ đủ nhỏ và 2 điểm $x_1,x_2$ sao cho $f(x)$ âm tại các điểm $x_1 -\delta;x_1;x_1+\delta$ và dương tại các điểm $x_2-\delta;x_2;x_2+\delta$. Với $t\in [0;1]$ đặt

 

$$F(t)=f[(x_1-\delta)+t(x_2-x_1)]+f[x_1+t(x_2-x_1)]+f[(x_1+\delta)+t(x_2-x_1)]$$

Ta có $F(t)$ liên tục trên $[0;1]$

 

Và $F(0)=f(x_1-\delta)+f(x_1)+f(x_1+\delta)<0$

 

$F(1)=f(x_2-\delta)+f(x_2)+f(x_2+\delta)>0$

 

Theo định lý giá trị trung gian của hàm liên tục tồn tại $t_0\in (0;1)$ sao cho $F(t_0)=0$

 

Đặ $a=(x_1-\delta)+t_0(x_2-x_1);b=x_1+t_0(x_2-x_1);c=(x_1+\delta)+t_0(x_2-x_1)$

 

$\Rightarrow a<b<c$ và $a,b,c$ là 1 cấp số cộng.

 

Lại có $f(a)+f(b)+ f(c )=F(t_0)=0$ nên ta có điều cần chứng minh. $\square$

[phudinhgioihan]

Cho đa thức:

$f(x)= a_{2004}x^{2004}+ a_{2003}x^{2003}+...+ a_{1}x + a_{0} $ thoả mãn $ f(1)= -1, f(2003)= 4$.

Chứng minh tồn tại cấp số cộng $\div a,b,c,   a<b<c$   thoả mãn   $f(a)+f(b)+f( c) = 0$.

 

 

Tổng quát, mọi hàm $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và nhận những giá trị trái dấu thì luôn có $a,b,c \in \mathbb{R}$ lập thành cấp số cộng sao cho $f(a)+f(b)+f( c)=0$.

 

Chứng minh như của Ispectorgadget cũng được nhưng.....@@

 

Giải:

 

Từ giả thiết, suy ra tồn tại $x,y \in \mathbb{R}$ sao cho $f(x)>0>f(y)$. Do $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó, tồn tại lân cận $V$ của $x$ và lân cận $Q$ của $y$ sao cho $f(t) >0 \; \forall t \in V \;, \; f(t)<0 \; \forall t \in Q $

 

Trên $V$ luôn tồn tại 3 số $a_0,b_0,c_0$ tạo thành cấp số cộng (chẳng hạn $x-\frac{\epsilon}{2},x,x+\frac{\epsilon}{2} \;, V=(x-\epsilon,x+\epsilon), \epsilon>0 $ ), và hiển nhiên $f(a_0)+f(b_0)+f(c_0)>0$.

 

Tương tự trên $Q$ luôn tồn tại 3 số $a_1,b_1,c_1$ tạo thành cấp số cộng và hiển nhiên $f(a_1)+f(b_1)+f(c_1)<0$.

 

Với $t \in [0;1]$ , xét cấp số cộng $a(t),b(t),c(t)$ xác định bởi

 

$$a(t)=a_0t+(1-t)a_1 \\ b(t)=b_0t+(1-t)b_1 \\ c(t)=c_0t+(1-t)c_1 $$

 

Xét hàm $F(t)=f(a(t))+f(b(t))+f(c(t))$ liên tục trên $[0;1]$, đồng thời dễ có $F(0)<0<F(1)$ nên theo định lý về giá trị trung gian, tồn tại $t_0 \in [0;1]$ sao cho $F(t_0)=0$ hay $f(a(t_0))+f(b(t_0))+f(c(t_0))=0$ , đpcm.