Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng $\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq\frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq\frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Bắt đầu bởi Strygwyr, 27-03-2013 - 17:24
#2
Đã gửi 19-12-2021 - 16:04
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$\frac{a^4+b^4+c^4}{ab+bc+ca}+\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}\geqslant \frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a+b+c}+\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow \frac{a^4+b^4+c^4}{ab+bc+ca}+\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}+ab+bc+ca\geqslant \frac{5}{3}(a^2+b^2+c^2)$
Đúng do:
$\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}+\frac{ab+bc+ca}{3}\geqslant \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)$ (Schur bậc 3)
$\frac{a^4+b^4+c^4}{ab+bc+ca}+\frac{2}{3}(ab+bc+ca)\geqslant a^2+b^2+c^2$ (Schur bậc 4)
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
