8 replies to this topic

[tubmt97]

Trong tam giác ABC, chứng minh bất đẳng thức:

$ cos(A-B) + cos(B-C) + cos(C-A) \geqslant 8(cos(A) + cos(B) + cos(C))-9 $

Edited by tubmt97, 28-03-2013 - 20:30.

[nguyenthehoan]

Trong tam giác ABC, chứng minh bất đẳng thức:

$ cos(A-B) + cos(B-C) + cos(C-A) \geqslant 8(cos(A) + cos(B) + cos(C))-9 $

Ta cần hai bổ đề sau:

 

+) Nếu $\alpha +\beta +\gamma =0$  thì

 

$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\beta -\gamma }{2}\cos \frac{\gamma -\alpha }{2}-1$  (Chứng minh đơn giản)

 

+)Trong $\Delta ABC$

 

$\prod \cos \frac{A-B}{2}\geq 8\prod \sin \frac{A}{2}$   (2)

 

Chứng minh (2):

 

$(2)\Leftrightarrow \prod \frac{\cos \frac{A-B}{2}}{\cos \frac{A+B}{2}}\geq 8$

 

$\Leftrightarrow \frac{1+\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}}{1-\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}}\geq 8$  (3)

 

Sử dụng hệ thức cơ bản $\sum \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}=1$

 

$(3)\Leftrightarrow \prod (2x+y+z)\geq \prod 8(y+z)\Leftrightarrow\prod (a+b)\geq 8abc$   (bdt quen thuộc)

 

Áp dụng hai bổ đề trên:

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 

 

$2+\prod \cos \frac{A-B}{2}\geq 2(\sum \cos A)$

 

Theo bổ đề (2) ta cần cm:

 

$1+4\prod \sin \frac{A}{2}\geq \sum \cos A$

 

Nhưng đây là đẳng thức do các kết quả quen thuộc sau:

 

$r=4R\prod \sin \frac{A}{2}$

 

Và  $\sum \cos A=1+\frac{r}{R}$.

 

Bài toán được chứng minh.

Edited by nguyenthehoan, 06-04-2013 - 21:04.

[tubmt97]

Và  $\sum \cos A=1+\frac{r}{R}$.

 

Bài toán được chứng minh.

 

Mình vẫn chưa hiểu rõ đoạn cuối vì sao

$$\sum \cos A=1+\frac{r}{R}$$.

và

$$ \sum cos(A)\geq \sum cos(\frac{A}{2}) $$

Edited by tubmt97, 31-03-2013 - 18:28.

[dark templar]

Mình vẫn chưa hiểu rõ đoạn cuối vì sao

$$\sum \cos A=1+\frac{r}{R}(1)$$.

và

$$ \sum cos(A)\geq \sum cos(\frac{A}{2}) (*)$$

Công thức (1) này có rất nhiều cách chứng minh,mình chỉ trình bày cách giải hoàn toàn Lượng Giác (còn cách giải thuần Hình học cũng khá hay bằng cách sử dụng định lý Ptoleme nhưng mình hơi lười up hình)

 

Ta có theo định lý sin :

 

\[\begin{array}{rcl}p &=& R\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right)\\&=& 4R\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}\\\Rightarrow r &=& \frac{S}{p} = \frac{{\frac{{abc}}{{4R}}}}{{4R\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}\\&=& \frac{{R\sin A\sin B\sin C}}{{2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}}\\&=& 4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\end{array}\]

 

Mặt khác :

\[\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = 1 + \frac{r}{R}\]

 

Còn chỗ (*) thì không có BĐT này đâu bạn,chỉ có $\sum \cos A \le \sum \sin \frac{A}{2}$ mà thôi

[tubmt97]

Còn chỗ (*) thì không có BĐT này đâu bạn,chỉ có $\sum \cos A \le \sum \sin \frac{A}{2}$ mà thôi

Nếu (*) ko đúng thì bài toán trên chưa chứng minh được.

[nguyenthehoan]

Nếu (*) ko đúng thì bài toán trên chưa chứng minh được.

bạn xem lại nhé.Trong cm mình đâu có dùng bdt đó!!!

[tubmt97]

Rất thích sự nhiệt tình của bạn. Bạn viết rõ đoạn cuối thử đi.

Edited by tubmt97, 06-04-2013 - 20:56.

[tubmt97]

Theo bổ đề (2) ta cần cm:

 

$1+4\prod \sin \frac{A}{2}\geq \sum \cos \frac{A}{2}$

 

Nhưng đây là đẳng thức do các kết quả quen thuộc sau:

 

$r=4R\prod \sin \frac{A}{2}$

 

Và  $\sum \cos A=1+\frac{r}{R}$.

 

Bài toán được chứng minh.

Tới đây thì mới có được

$1+4\prod \sin \frac{A}{2}=\sum cosA$

Cần chứng minh:

 

$1+4\prod \sin \frac{A}{2}=\sum cosA\geq \sum \cos \frac{A}{2}$

Edited by tubmt97, 06-04-2013 - 21:05.

[nguyenthehoan]

Tới đây thì mới có được

$1+4\prod \sin \frac{A}{2}=\sum cosA$

Cần chứng minh:

 

$1+4\prod \sin \frac{A}{2}=\sum cosA\geq \sum \cos \frac{A}{2}$

À.sorry.đoạn cuối mình gõ nhầm.ko có chỗ nào là $\cos \frac{A}{2}$ cả.Mình đã sửa lại rồi.Bạn xem rồi test lại nha...