Chủ đề này có 3 trả lời

[Supermath98]

Cho các số dương x,y thay đổi thõa mãn điều kiện: x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:

                 P=$\left ( x^{2}+\frac{1}{y^{2}} \right )\left ( y^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 29-03-2013 - 17:46

[vnmath98]

Cho các số dương x,y thay đổi thõa mãn điều kiện: x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:

                 P=$\left ( x^{2}+\frac{1}{y^{2}} \right )\left ( y^{2}+\frac{1}{y^{2}} \right )$

Cho mình hỏi, đề bài của bạn đúng không vậy???

[Atu]

Cho các số dương x,y thay đổi thõa mãn điều kiện: x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:

                 P=$\left ( x^{2}+\frac{1}{y^{2}} \right )\left ( y^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right )$

Ta có:

$P=(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})=2+x^{2}y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}=2+(xy)^{2}+\frac{1}{256(xy)^{2}}+\frac{255}{256(xy)^{2}}$

Áp dụng $AM-GM$:

$(xy)^{2}+\frac{1}{256(xy)^{2}}\geq \frac{1}{8}$

$\frac{255}{256(xy)^{2}}\geq \frac{255}{(4(x+y)^{2})^{2}}=\frac{255}{16}$

Cộng lại, suy ra $min P=\frac{289}{16}$

 

Mình vẫn chưa hiểu cái BĐT thứ 2 bạn ơi. giải thích mình vs

 

Ta có: $4xy\leq (x+y)^{2}\Rightarrow (4\times 4xy)^{2}\leq (4\times (x+y)^{2})^{2}=16$

$\Rightarrow \frac{255}{(16xy)^{2}}\geq \frac{255}{16}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Atu: 28-03-2013 - 22:07

[Supermath98]

Ta có:

$P=(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})=2+x^{2}y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}=2+(xy)^{2}+\frac{1}{256(xy)^{2}}+\frac{255}{256(xy)^{2}}$

Áp dụng $AM-GM$:

$(xy)^{2}+\frac{1}{256(xy)^{2}}\geq \frac{1}{8}$

$\frac{255}{256(xy)^{2}}\geq \frac{255}{(4(x+y)^{2})^{2}}=\frac{255}{16}$

Cộng lại, suy ra $min P=\frac{289}{16}$

Mình vẫn chưa hiểu cái BĐT thứ 2 bạn ơi. giải thích mình vs