Chủ đề này có 2 trả lời

[mat troi be nho]

1. Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn \[ p^q-q^p=pq^2-19 \]
2. Cho các số nguyên $a,b,c$ và số nguyên tố $p$.CMR tồn tại $x,y,z$ không đồng thời chia hết cho $p$ sao cho $p|ax^2+by^2+cz^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 29-03-2013 - 21:34

[NLT]

1. Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn \[ p^q-q^p=pq^2-19 \]
2.  

 

Giải như sau: 

 

Phương trình tương đương: \[ p^q+19=q^2(p+q^{p-2}) \to p^q+19 \equiv 0 (\mod q)\]

Nhưng theo Fermat nhỏ thì: \[ p^q \equiv p (\mod q) \to p+19 \vdots q \]

Tương tự: \[q-19 \vdots p\]

Suy ra: \[ (p+19)(q-19) \vdots pq \to 19(q-p-19) \vdots pq \].

 

Do $p,q$ nguyên tố nên $(19; pq)=1 \vee q \vee q$. Đối với $2$ trường hợp $(19;qp)=q \vee q$ dễ dàng tìm được $p,q$

Trường hợp còn lại $\to q-p-19 \vdots pq \to |q-p-19| \vdots pq$

 

Công việc còn lại quá đơn giản, có thể xét các trường hợp sao cho biểu thức trong dấu " $| |$" không âm và dùng tính chất: Với $2$ số tự nhiên $a,b$, $b$ khác $0$ thỏa $a \vdots b$ thì $a=0 \vee a \ge b$.

 

P/s: Số 19 ở bài này không quan trọng, có thể thay bằng bất cứ $a$ nguyên tố nào

___

NLT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 29-03-2013 - 22:05

[dactai10a1]

1. Cho các số nguyên $a,b,c$ và số nguyên tố $p$.CMR tồn tại $x,y,z$ không đồng thời chia hết cho $p$ sao cho $p|ax^2+by^2+cz^2$

 

Nếu có 1 trong 3 số a,b,c chia hết cho p,không mất tổng quát giả sử là a,thì khi đó ta chỉ cần chọn y=z=p; x=1

Nếu a,b,c đều không chia hết cho p

p=2.Dĩ nhiên thỏa

Xét p>2

Ta chọn trước z=1

Vì ${(p - k)^2} \equiv {k^2}(\bmod p)$nên với mọi số nguyên x thì${x^2}$ chia p chỉ có các số dư là ${0,1,2^2},...{\left( {\frac{{p - 1}}{2}} \right)^2}$

Xét các số${\rm{a}}{{\rm{x}}^2}$ (gọi là tập A)với x chạy qua$0,1,2,...\left( {\frac{{p - 1}}{2}} \right)$  và các số $ - b{y^2} - c$(gọi là tập B)với y chạy qua $0,1,2,...\left( {\frac{{p - 1}}{2}} \right)$

Dĩ nhiên ta có các số ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2}$có số dư đôi một khác nhau khi chia cho p và các số$ - b{y^2} - c$ có số dư đôi một khác nhau khi chia cho p(*)

Tổng các phần tử của 2 tập A và B là p+1(mỗi tập có $\frac{{p + 1}}{2}$phần tử)

Mà 1 số khi chia cho p chỉ có p số dư.Kết hợp với (*) phải có 1 phần tử thuộc A và 1 phần tử thuộc B mà 2 phần tử này có cùng số dư khi chia cho p.Giả sử là ${\rm{ax}}_0^2; - by_0^2 - c$  

Khi đó ta có$ax_0^2 - ( - by_0^2 - c) \vdots p \Leftrightarrow ax_0^2 + by_0^2 + c \vdots p$

Vậy bộ số $\left( {{x_0};{y_0};1} \right)$thỏa đề bài.Suy ra đpcm