Chủ đề này có 3 trả lời

[NLT]

Cho $a_i (i=1,2,..,n)$ là $n$ số hữu tỉ. Chứng minh rằng nếu với mọi số nguyên dương $m$, thỏa mãn $\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}^m} \in \mathbb{Z}$ thì $a_i \in \mathbb{Z}, i=1,2,..,n$.

___

NLT

[perfectstrong]

Đọc qua được một lời giải hay hay
Lời giải:

Giả sử, tồn tại $a_i \not \in \mathbb{Z}$. Ta chỉ cần xét TH $a_k \not \in \mathbb{Z}\,\forall k=\overline{1,n}$.

Đặt $a_i=\dfrac{p_i}{q_i}$ với $p_i;q_i \in \mathbb{Z}:(p_i;q_i)=1$ và $q_i \ne 0;1$.

Gọi $Q=LCM(q_1;q_2;...;q_n) \Rightarrow a_i=\dfrac{k_i}{Q}$ với $k_i \in \mathbb{Z}$.

Xét $p$ là một ước nguyên tố của $Q$.

Giả sử $p|k_i\,\forall i=\overline{1,n}$ thì xét $Q'=\dfrac{Q}{p}$. Rõ ràng $Q'$ cũng là bội của $q_1;q_2;...;q_n$ nhưng $Q'<Q$: trái với định nghĩa của $Q$.

Suy ra tồn tại $t \in [1,n]: p\not | a_t$. (*)

Gọi $r_i$ là số dư khi chia $k_i$ cho $p$.

Ta có $0\le r_i <p\,\forall i \ne t$ và $0<r_t<p$ (1) (do (*))

Mặt khác: $$k_i \equiv r_i \pmod p \Rightarrow k_i^m \equiv r_i^m \pmod{p^m}\,\forall m \in \mathbb{Z}^+$$

Cho nên

\[
\sum\limits_{i = 1}^n {r_i^m }  \equiv \sum\limits_{i = 1}^n {k_i^m }  = Q^m \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i^m } } \right) \equiv 0 \pmod{p^m}
\]

Kết hợp (1), ta có:

\[
\begin{array}{l}
 p^m  \le \sum\limits_{i = 1}^n {r_i^m }  \Rightarrow 1 \le \frac{1}{{p^m }}\sum\limits_{i = 1}^n {r_i^m }  = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{r_i }}{p}} \right)^m }  \\
  \Rightarrow 1 \le \mathop {\lim }\limits_{m \to  + \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{r_i }}{p}} \right)^m }  = 0 :(do (*))\\
 \end{array}
\]

BĐT cuối cùng là vô lý nên điều giả sử là sai. Vậy ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 01-04-2013 - 12:25

[nguyenta98]

Mặt khác: $$k_i \equiv r_i \pmod p \Rightarrow k_i^m \equiv r_i^m \pmod{p^m}\,\forall m \in \mathbb{Z}^+$$

Phần này sai cơ bản rồi, mà anh Hân xem lời giải này ở đâu thế?

[perfectstrong]

Phần này sai cơ bản rồi, mà anh Hân xem lời giải này ở đâu thế?

Anh thấy trong sách thôi. Đúng là sai thật. Mà anh cũng chưa biết sửa chỗ đó thế nào.