1)cho tam giác ABC phân giác AD . M là trung điểm AD. Đường tròn đường kính AB cắt đoạn MC tại E. Đường tròn đường kính AC cắt đoạn MB tại F. Chứng minh rằng DE.AF=DF.AE
2)Cho tam giác ABC (AB< AC), đường cao BE, CF, trung tuyến AM. Đường thẳng qua A vuông góc AM cắt EF tại K. MK cắt AC tại L. BL cắt đường thẳng qua M sông song AK tại N . Chứng minh rằng AN//BC
3)Cho tam giác ABC vuông tại A. D là điểm sao cho CD vuông góc với BC. M là trung điểm BC. DM cẳt AB tại E. F thuộc AD sao cho BF//CE. Chứng minh rằng BF vuông góc với CF
4) Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. EF cắt BC tại G. AM trung tuyến tam giác ABC cắt đường tròn (O) ngoại tiếp ABC tại N khác A. P là hình chiếu của I lên AM. C/M : tam giác IDP đồng dạng tam giác MNG
+)Mình làm bài 1.
Ta chỉ xét E, F là giao điểm thứ nhất của MC, MB với các đường tròn.
Gọi E' là điểm trên MC sao cho
$ME'.MC=MA^{2}$
Khi đó
$\Delta MAE'\sim \Delta MCA\Rightarrow \widehat{MCA}=\widehat{MAE'}$
Vẽ $AH$ vuông góc BC.
$\Rightarrow HM^{2}=ME'.MC\Rightarrow \Delta MHE'\sim \Delta MCH$
$\Rightarrow \widehat{ME'H}=\widehat{MHC}=\widehat{MDH}\Rightarrow$ Tứ giác ME'DH nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{DMC}=\widehat{E'HC}=\widehat{DAC}+\widehat{MCA}=\widehat{DAB}+\widehat{MAE'}=\widehat{E'AB}$
Suy ra Tứ giác AE'HB nội tiếp.
Hay $E'\equiv E$.
Vậy $MD^{2}=MA^{2}=ME.MC=MF.MB$ suy ra BFEC nội tiếp
Từ trên ta có $M,D,H,E,F$ đồng viên.
Theo định lí sin ta có
$\frac{DE}{FD}=\frac{\sin \widehat{DME}}{\sin \widehat{DMF}}=\frac{\sin \widehat{AME}}{\sin \widehat{AMF}}$
Mặt khác $\widehat{MEA}=\widehat{MFA}=\frac{\widehat{BAC}}{2}$
Suy ra
$\frac{\sin AME}{\sin \widehat{AMF}}=\frac{AE}{AF}$
Từ đó
$\frac{DE}{DF}=\frac{AE}{AF}$.(dpcm)
1)cho tam giác ABC phân giác AD . M là trung điểm AD. Đường tròn đường kính AB cắt đoạn MC tại E. Đường tròn đường kính AC cắt đoạn MB tại F. Chứng minh rằng DE.AF=DF.AE
2)Cho tam giác ABC (AB< AC), đường cao BE, CF, trung tuyến AM. Đường thẳng qua A vuông góc AM cắt EF tại K. MK cắt AC tại L. BL cắt đường thẳng qua M sông song AK tại N . Chứng minh rằng AN//BC
3)Cho tam giác ABC vuông tại A. D là điểm sao cho CD vuông góc với BC. M là trung điểm BC. DM cẳt AB tại E. F thuộc AD sao cho BF//CE. Chứng minh rằng BF vuông góc với CF
4) Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. EF cắt BC tại G. AM trung tuyến tam giác ABC cắt đường tròn (O) ngoại tiếp ABC tại N khác A. P là hình chiếu của I lên AM. C/M : tam giác IDP đồng dạng tam giác MNG
Bài 2)
Gọi P là giao của EF và BC.Khi đó ta có bổ đề quen thuộc sau
$PH$ vuông góc với $AM$ tại R.
Gọi I,D là giao AH với EF và BC (H là trực tâm ABC)
Q,T là giao AM với PK,BN
Ta có $(AH,ID)=-1$ chiếu xuyên tâm P suy ra $(AR,QM)=-1$
Suy ra $\frac{QR}{QA}=\frac{MR}{MA}\Rightarrow \frac{PR}{AK}=\frac{MR}{MA}$
$\Rightarrow \Delta MRP\sim \Delta MAK\Rightarrow \widehat{AMP}=\widehat{AMK}$
Mà MA vuông góc MN
$\Rightarrow M(BL,TN)=-1$
Mà MB=MC suy ra AN//BC (tính chất hàng điều hoà).
Bài 4)
Vẽ đường kính DX của (I) Và gọi K là giao của AX và BC
Khi đó MD=MK (Bổ đề quen thuộc)
Ta có AD,BE,CF đồng quy suy ra $(GD,CB)=-1$ (hàng điều hoà cơ bản)
Mà MB=MC $\Rightarrow MB^{2}=MC^{2}=MD.MG=MK.MG$ (hệ thức Newton)
Mà $Mc^{2}=MB.MC=MA.MN$ $\Rightarrow MA.MN=MG.MK$
Hay AKNG nội tiếp.
Ta có IM//XK (đường trung bình)
$\Rightarrow \widehat{IPD}=\widehat{IMD}=\widehat{AKG}=\widehat{MNG}$
Lại có $\widehat{PID}=\widehat{NMG}$ (tứ giác IPMD nội tiếp)
Suy ra $\Delta IPD\sim \Delta MNG$ (dpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 30-03-2013 - 22:12
