Chủ đề này có 4 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. 

Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b+c^{2}}}\leq 2$

[tieutuhamchoi98]

Lâu lâu không oánh! 

Áp dụng BDDT Cô-si ta có:

$\frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b+c^{2}}}\leq \frac{1}{2}((\frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b}})^{2}+1+(\frac{b+c}{\sqrt{b+c^{2}}})^{2}+1)$

Do vậy ta cần CM:

$\frac{a^{2}+b^{2}+2ab}{a^{2}+b} +\frac{c^{2}+b^{2}+2cb}{c^{2}+b}\leq 1$

Thật vậy:

$\Leftrightarrow \frac{-b+b^{2}+2ab}{a^{2}+b} +\frac{-b+b^{2}+2cb}{c^{2}+b}\leq 0$

$\Leftrightarrow b(\frac{b+2a-1}{a^{2}+b}+\frac{b+2c-1}{c^{2}+b})\leq 0$

$\Leftrightarrow b(\frac{a-c}{a^{2}+b}+\frac{c-a}{c^{2}+b})\leq 0$

$\Leftrightarrow b(a-c)^{2}.(a+c)\geq 0$

Do vâyj ta có đpcm!  Q.E.D! 

[Supermath98]

Lâu lâu không oánh! 

Áp dụng BDDT Cô-si ta có:

$\frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b+c^{2}}}\leq \frac{1}{2}((\frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b}})^{2}+1+(\frac{b+c}{\sqrt{b+c^{2}}})^{2}+1)$

Do vậy ta cần CM:

$\frac{a^{2}+b^{2}+2ab}{a^{2}+b} +\frac{c^{2}+b^{2}+2cb}{c^{2}+b}\leq 1$

Bạn ơi. Phải là cần CM $\leq$ 2 chứ?

[tieutuhamchoi98]

Bạn ơi. Phải là cần CM $\leq$ 2 chứ?

Không nhìn cái $\frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b+c^{2}}}\leq \frac{1}{2}((\frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b}})^{2}+1+(\frac{b+c}{\sqrt{b+c^{2}}})^{2}+1)$

Cái 1/2 nhân đấy! 

[Supermath98]

Không nhìn cái $\frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b+c^{2}}}\leq \frac{1}{2}((\frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b}})^{2}+1+(\frac{b+c}{\sqrt{b+c^{2}}})^{2}+1)$

Cái 1/2 nhân đấy! 

ukm. mình xl