Sau khi đọc xong một vài quyển sách có nói về BĐT Nesbitt, mình xin chia sẻ với diễn đàn một số cách chứng minh BĐT này:
Đề bài: Chứng minh với mọi a, b, c >0 thì:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$.
( sách Những con đường khám phá lời giải Bất đẳng thức-NXB Sư phạm-chương 5)
Cách 1:
Đặt $T= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}; Q=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}; P=\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+b}$.
Ta có: $T+Q\geq 3;
$T+P\geq 3$ $\Rightarrow 2T+P+Q\geq 6$;
mà $P+Q=3$$\Rightarrow T\geq \frac{3}{2}$.
Cách 2: Sử dụng BĐT Vasile Cirtoaje
$\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )^{2}\geq 3\left ( a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a \right ):$
$\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}\geq 3\left ( ab^{3}+bc^{3}+ca^{3} \right )$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^{4}}{a^{3}b+a^{3}c}+\frac{b^{4}}{b^{3}c+b^{3}a}+\frac{c^{4}}{c^{3}a+c^{3}b}$
$\geq \frac{1}{2}\frac{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{\left ( a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a \right )+\left ( ab^{3}+bc^{3}+ca^{3} \right )}$
$\geq \frac{1}{2}\frac{3\left ( a^{b}+b^{3}c+c^{3}a \right )+\left ( ab^{3}+bc^{3}+ca^{3} \right )}{\left ( a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a \right )+\left ( ab^{3}+bc^{3}+ca^{3} \right )}=\frac{3}{2}$
Cách 3:
Bổ đề:
$\sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^{2}}\geq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$ với a,b,c>0>
Ta chứng minh bổ đề như sau:
$\sum \sqrt[3]{\left ( \frac{2a}{b+c} \right )^{2}} = \sum\frac{2a}{\sqrt[3]{2a\left ( b+c \right )^{2}}}\geq \sum \frac{2a}{\frac{2a+2(b+c)}{3}}= \sum \frac{3a}{a+b+c}=3$;
vậy ta đã chứng minh xong bổ đề
Áp dụng bổ đề và BĐT AM-GM ta có:
$\sum \frac{\frac{a}{b+c}+\frac{a}{b+c}+\frac{1}{2}}{3}\geq \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^{2}.\frac{1}{2}}\geq \frac{3}{2}.$
từ đó có đpcm.
Trên đây là một vài cách chứng minh, mình có một số BĐT cũng liên quan tới BĐT Nesbitt, mời các bạn cùng giải cho vui:
1) với mọi a,b,c>0 chứng minh:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{2abc}{3a^{3}+3b^{3}+3c^{3}}\geq \frac{31}{18}$
2) Chứng minh rằng:$a\geq b\geq c> 0$
thì $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}+\frac{\left ( a-c \right )^{2}}{ab+bc+ca}$
3)Chứng minh rằng : với a,b,c>0
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{27abc}{2\left ( a+b+c \right )^{2}}\geq 2$
4)Chứng minh với a,b,c>0
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+4\frac{\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq 5$