tìm x,y thuộc Z sao cho $\frac{x^{2}+1}{y^{2}-5}\in \mathbb{Z} $
tìm x,y thuộc Z sao cho $\frac{x^{2}+1}{y^{2}-5}\in \mathbb{Z} $
Bắt đầu bởi phamvanha92, 31-03-2013 - 08:45
#2
Đã gửi 31-03-2013 - 16:15
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
tìm x,y thuộc Z sao cho $\frac{x^{2}+1}{y^{2}-5}\in \mathbb{Z} $
Giải như sau:
Bổ đề: $p|a^2+b^2 \Leftrightarrow p|a,b$ với $p \equiv 3 \pmod{4}$
$$**********$$
Áp dụng $y$ chẵn vì nếu $y$ lẻ suy ra $y^2-5 \vdots 4 \Rightarrow x^2+1 \vdots 4$ vô lí vì khi ấy $x^2 \equiv 3 \pmod{4}$, và $y\geq 3$ vì nếu $y=1,2$ thì bài toán quá dễ, $y=1$ thì $x^2+1 \vdots 3$ loại, $y=2$ thì $(x,y)=(x,2)$
Nên $y$ chẵn do đó $y^2-5 \equiv 3 \pmod{4}$ nên nó phải có một ước nguyên tố dạng $4k+3$ giả sử là $r$ áp dụng bổ đề suy ra $r|x,r|1$ mâu thuẫn
Vậy $(x,y)=(x,2)$ với $x \in Z$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 31-03-2013 - 16:16
- Zaraki, Poseidont, phamvanha92 và 2 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
