Chủ đề này có 3 trả lời

[phamvanha92]

1. Tìm số nguyên tố P sao cho $ 2^{11p}\equiv 2 ( mod 11p )$

 

2. CMR: $a^{2} + b^{2}+c^{2} \vdots 7 \Leftrightarrow a^{4} + b^{4}+c^{4} \vdots 7$

 

3. Tìm N thuộc $\mathbb{N}*$ sao cho $n^{7} + 7$ là số chính phương

 

4. Cho số nguyên tố p, CMR: $3^{p} +7p -4$ ko là số chính phương

 

Có ông anh trên HN gửi bài về cho mình, chia sẻ vs mấy bồ

p/s: Có bồ nào xuân trường, nam định không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamvanha92: 31-03-2013 - 09:02

[nguyenthehoan]

1. Tìm số nguyên tố P sao cho $ 2^{11p}\equiv 2 ( mod 11p )$

 

2. CMR: $a^{2} + b^{2}+c^{2} \vdots 7 \Leftrightarrow a^{4} + b^{4}+c^{4} \vdots 7$

 

3. Tìm N thuộc $\mathbb{N}*$ sao cho $n^{7} + 7$ là số chính phương

 

4. Cho số nguyên tố p, CMR: $3^{p} +7p -4$ ko là số chính phương

 

Có ông anh trên HN gửi bài về cho mình, chia sẻ vs mấy bồ

p/s: Có bồ nào xuân trường, nam định không?

+)Bài 1

 

Theo định lí Fermat nhỏ ta có 

 

$2^{p}\equiv 2$  (mod p)

 

$\Rightarrow 2^{11p}\equiv 2^{11}$ (mod p)

 

Từ đó theo đề bài suy ra 

 

$p|2^{11}-2\Rightarrow p\in {2,3,341}$

 

Kiểm tra trực tiếp p=341 thoả mãn (Theo định lí Fermat)

 

+)Bài 2

 

Ta có số đư khi chia một số chính phương cho 7 thuộc {0;1;4;2}

 

do đó $7|a^{2}+b^{2}+c^{2}$ $\Leftrightarrow$ số dư khi chia $a^{2},b^{2},c^{2}$  cho 7 bằng (0;0;0) hoặc (1;2;4)

 

Từ đây ta dễ dàng có điều phải chứng minh.

[barcavodich]

Bài 3

đặt $n^7+7=a^2$

$\Rightarrow n^7+2^7=a^2+11^2$

từ đây dễ rồi

[ngovtbx]

4. Cho số nguyên tố p, CMR: $3^{p} +7p -4$ ko là số chính phương

Ta có

$3^{p} +7p -4 = a^2$

$3^p + 7p-4 \equiv 3-4=-1 (mod p)$

$ \Rightarrow -1 \equiv a^2 (mod p)$

$ \Rightarrow p = 4k+1 $

Do đó,ta có

$3^p + 7p-4 \equiv -1+3=2 (mod 4)$

$ \Rightarrow 2 \equiv a^2 (mod 4)$

Vô lý