Cho a,b,c >0 . Chứng minh
$\frac{1}{a\left ( b+1 \right )}+\frac{1}{b\left ( c+1 \right )}+\frac{1}{c\left ( a+1 \right )}\geq \frac{3}{1+abc}$
Cho a,b,c >0 . Chứng minh
$\frac{1}{a\left ( b+1 \right )}+\frac{1}{b\left ( c+1 \right )}+\frac{1}{c\left ( a+1 \right )}\geq \frac{3}{1+abc}$
Cho a,b,c >0 . Chứng minh
$\frac{1}{a\left ( b+1 \right )}+\frac{1}{b\left ( c+1 \right )}+\frac{1}{c\left ( a+1 \right )}\geq \frac{3}{1+abc}$
Đặt
$a=\frac{mx}{y};b=\frac{my}{z};c=\frac{mz}{x}$
Khi đó $abc=m^3$
Và bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành
$\frac{zy}{xy+mxz}+\frac{xz}{yz+mxy}+\frac{xy}{zx+mzy}\ge \frac{3m}{1+m^3}$
Sử dụng bđt Cauchy-Schwarz:
$VT=\frac{z^2y^2}{xy^2z+mxyz^2}+\frac{x^2z^2}{xyz^2+mx^2yz}+\frac{x^2y^2}{x^2yz+mxy^2z}\ge \frac{(xy+yz+zx)^2}{(1+m)[xyz(x+y+z)]}$
Ta cần chứng minh
$\frac{(xy+yz+zx)^2}{(1+m)[xyz(x+y+z)]}\ge \frac{3m}{1+m^3}$
$\Leftrightarrow (m^2-m+1)(xy+yz+zx)^2\ge 3m[xyz(x+y+z)]$
Mặt khác ta có
$(xy+yz+zx)^2\ge 3xyz(x+y+z)$
và
$m^2-m+1\ge m$
$\Leftrightarrow (m-1)^2\ge 0$ (đúng)
$\Rightarrow$ dpcm
Dấu đẳng thức xảy ra khi $k=1$ và $x=y=z$
hay $a=b=c=1$
Cho a,b,c >0 . Chứng minh
$\frac{1}{a\left ( b+1 \right )}+\frac{1}{b\left ( c+1 \right )}+\frac{1}{c\left ( a+1 \right )}\geq \frac{3}{1+abc}$
BDT$\Leftrightarrow \frac{1+abc}{a(1+b)}+\frac{1+abc}{b(1+c)}+\frac{1+abc}{c(1+a)}\geq 3$
$\Leftrightarrow \left [ \frac{1+abc}{a(1+b)}+1 \right ]+\left [ \frac{1+abc}{b(1+c)}+1 \right ]+\left [ \frac{1+abc}{c(1+a)}+1 \right ]\geq 6$
$\Leftrightarrow \frac{(1+a)+ab(1+c)}{a(1+b)}+\frac{(1+b)+bc(1+a)}{b(1+c)}+\frac{(1+c)+ca(1+b)}{c(1+a)}\geq 6$
$\Leftrightarrow \frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{b(1+c)}{1+b}+\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{c(1+a)}{1+c}+\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{a(1+b)}{1+a}\geq 6$
Mặt khác ta có:$\frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{a(1+b)}{1+a}\geq 2$ (BDT Cauchy)
Thiết lập các BDT tương tự như trên ta có được đ.p.c.m
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh