Chủ đề này có 5 trả lời

[vitconvuitinh]

Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả

$f(xy)=\frac{f(x)+f(y)}{x+y} ,x+y\neq0$

Chứng minh $f(x)=0, \forall x$

[perfectstrong]

Lời giải:

Trong gt, thay $y$ bởi $0$; $x \ne 0$ thì \[
f\left( 0 \right) = \frac{{f\left( x \right) + f\left( 0 \right)}}{x} \Rightarrow f\left( 0 \right)\left( {x - 1} \right) = f\left( x \right)
\]
Nếu $f(0)=0 \Rightarrow f \equiv 0:$ thỏa đề.

Xét $f(0) \ne 0$. Khi đó, viết lại gt:\[
xy - 1 = \frac{{x + y - 2}}{{x + y}}
\]
Đẳng thức trên không đúng với mọi $x,y \in \mathbb{R}$. Như vậy, TH $f(0) \ne 0$ dẫn tới mâu thuẫn. Ta có đpcm.

[vitconvuitinh]

Ủa sao có được dòng dưới vậy bạn?

Xét $f(0) \ne 0$. Khi đó, viết lại gt:\[
xy - 1 = \frac{{x + y - 2}}{{x + y}}
\]
Đẳng thức trên không đúng với mọi $x,y \in \mathbb{R}$. Như vậy, TH $f(0) \ne 0$ dẫn tới mâu thuẫn. Ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vitconvuitinh: 02-04-2013 - 15:39

[perfectstrong]

Ủa sao có được dòng dưới vậy bạn?

Bạn thế $x=1;y=2$ vào xem có đúng không?

[vitconvuitinh]

Bạn thế $x=1;y=2$ vào xem có đúng không?

 

Biết là mâu thuẫn như vậy rồi nhưng mình chỉ hơi thắc mắc là sao từ gt lại suy ra được $xy-1=\frac{x+y-2}{x+y}$

[perfectstrong]

Biết là mâu thuẫn như vậy rồi nhưng mình chỉ hơi thắc mắc là sao từ gt lại suy ra được $xy-1=\frac{x+y-2}{x+y}$

Bạn chú ý dòng đầu tiên, kết quả mình suy ra là $f(x)=f(0)(x-1)\,\forall x$

Xét TH $f(0) \ne 0$. Bạn thế kết quả này vào trong biểu thức đã cho, rút gọn $f(0)$ đi sẽ có được $xy-1=\frac{x+y-2}{x+y}$