Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangtrunghieu22101997]

Cho $x;y;z$ không âm sao cho có nhiều nhất 1 số bằng 0. Chứng minh

$$\sum \dfrac{1}{x^3+y^3} \ge \dfrac{20}{(x+y+z)^3}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrunghieu22101997: 04-04-2013 - 21:48

[nguyenthehoan]

Cho $x;y;z$ không âm sao cho có nhiều nhất 1 số bằng 0. Chứng minh

$$\sum \dfrac{1}{x^3+y^3} \ge \dfrac{20}{(x+y+z)^3}$$

Bài này khá quen thuộc..

 

Giả sử $x\geq y\geq z$.

 

Ta có $x^{3}+y^{3}\leq (x+\frac{z}{2})^{3}+(y+\frac{z}{2})^{3}$

 

$y^{3}+z^{3}\leq (y+\frac{z}{2})^{3}$

 

Và $x^{3}+z^{3}\leq (x+\frac{z}{2})^{3}$

 

Sau đó đặt $a=x+\frac{z}{2},b=y+\frac{z}{2}$ quy bài toán về cm

 

$\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{a^{3}+b^{3}}\geq \frac{20}{(a+b)^{3}}$

 

Đặt tiếp $t=\frac{a}{b}$ thì bdt chỉ còn 1 biến.Ta có thể dùng đạo hàm hoặc Côsi giải quyết nốt.

 

Ta có dpcm.Đẳng thức khi $(x.y,z)=(t,t,0)$ và các hoán vị.