Chủ đề này có 2 trả lời

[Supermath98]

Cho a,b,c>0. CMR: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}<\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

[khong la gi ca]

Cho a,b,c>0. CMR: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}<\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

Ta có

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\\$

$\frac{a}{\sqrt{a\left (b+c \right )}}+\frac{b}{\sqrt{b\left (c+a \right )}}+\frac{c}{\sqrt{c\left (a+b \right )}}\\$

$\geq \frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}+\frac{b}{\frac{a+b+c}{2}}+\frac{c}{\frac{a+b+c}{2}}\\ $

$\frac{a+b+c}{\frac{a+b+c}{2}} = 2\\$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$a=b+c\\$

$b=c+a\\$

$c=a+b\\$

$\Rightarrow a = b = c = 0$ (mâu thuẫn giả thiết)

Vậy đẳng thức không thể xảy ra hay

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} > 2$

Mặt khác không giảm tổng quát ta giả sử $a\leq b\leq c$. Khi đó

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\leq \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}=1+\frac{c}{c+a}<2$

Vậy

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2<\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

[Christian Goldbach]

Cho a,b,c>0. CMR: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}<\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{a+(b+c)}{2}\geq \sqrt{a(b+c)}>0\Rightarrow \frac{2}{a+b+c}\leq \frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$(Dấu = ko xảy ra)$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}> 2$

Mặt khác:

$a,b,c>0\Rightarrow \sum \frac{a}{b+c}< \sum \frac{a+c}{a+b+c}=2\Rightarrow Q.E.D$