2 replies to this topic

[IloveMaths]

$\left\{\begin{matrix} x+ay-a=0 & & \\ x^2+y^2-x=0 & & \end{matrix}\right.$

 

a) Tìm a để hệ có 2 nghiêm phân biệt

b)  giả sử $(x_{1},y_{1}) ; (x_{2},y_{2})$  là hai nghiêm của hệ

Chứng minh:

 

$(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2<1$

[phatthemkem]

$\left\{\begin{matrix} x+ay-a=0 & & \\ x^2+y^2-x=0 & & \end{matrix}\right.$

 

a) Tìm a để hệ có 2 nghiêm phân biệt

b)  giả sử $(x_{1},y_{1}) ; (x_{2},y_{2})$  là hai nghiêm của hệ

Chứng minh:

 

$(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2<1$

a) Từ phương trình đầu của hệ, ta có $x+ay-a=0\Leftrightarrow x=a-ay$

Thay vào phương trình thứ hai, ta được $(a-ay)^2+y^2-a+ay=0\Leftrightarrow (a^2+1)y^2+(a-2a^2)y+a^2-a=0$

Ta có $\Delta =-3a^2+4a$

Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $(a^2+1)y^2+(a-2a^2)y+a^2-a=0$ có hai nghiệm phân biệt

Hay $\Delta =-3a^2+4a> 0\Leftrightarrow 0< a< \frac{4}{3}$

[phatthemkem]

$\left\{\begin{matrix} x+ay-a=0 & & \\ x^2+y^2-x=0 & & \end{matrix}\right.$

 

a) Tìm a để hệ có 2 nghiêm phân biệt

b)  giả sử $(x_{1},y_{1}) ; (x_{2},y_{2})$  là hai nghiêm của hệ

Chứng minh:

 

$(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2<1$

Câu b) hình như $(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2>1$ mới đúng

b) Từ phương trình $(a-ay)^2+y^2-a+ay=0\Leftrightarrow (a^2+1)y^2+(a-2a^2)y+a^2-a=0$, theo Viète, ta có

$\left\{\begin{matrix} y_{1}+y_{2}=\frac{2a^2-a}{a^2+1}\\ y_{1}y_{2}=\frac{a^2-a}{a^2+1} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (y_{2}-y_{1})^2=(y_{1}+y_{2})^2-4y_{1}y_{2}=\frac{4a-3a^2}{(a^2+1)^2}$

Mặt khác, từ phương trình đầu của hệ, ta có $x+ay-a=0\Leftrightarrow y=\frac{a-x}{a}$

Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta có $x^2+y^2-x=0\Leftrightarrow x^2+\frac{(a-x)^2}{a^2}-x=0$

$\Leftrightarrow (a^2+1)x^2-(a^2+2a)x+a^2=0$

Theo Viète thì ta có $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=\frac{a^2+2a}{a^2+1}\\ x_{1}x_{2}=\frac{a^2}{a^2+1} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (x_{2}-x_{1})^2=(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}=\frac{4a^3}{(a^2+1)^2}$

$\Rightarrow (x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2=\frac{4a^3-3a^2+4a}{(a^2+1)^2}$

Chỉ cần chứng minh $\frac{4a^3-3a^2+4a}{(a^2+1)^2}>1$ là xong

Edited by phatthemkem, 02-05-2013 - 19:43.