Chủ đề này có 1 trả lời

[Forgive Yourself]

Tìm Min, Max của $A=\frac{x+2y+1}{x^2+y^2+1}$

[Tienanh tx]

Thấy lâu quá k ai làm, nên chém luôn

_________________

$\oplus$ Ta có:$A=\dfrac{x+2y+1}{x^2+y^2+1}$
$\Longleftrightarrow$ $Ax^2+Ay^2+A=x+2y+1$

$\Longleftrightarrow$ $Ax^2+Ay^2+A-x-2y-1=0$

$\oplus$ Xem phương trình trên là phương trình bậc $2$ với ẩn là $y$, ta có

$f(y) = Ax^2+Ay^2+A-x-2y-1= (A)y^2 + (-2)y + (Ax^2 +A -x-1)$

$\Longrightarrow$ $\Delta_{\mathbf{y}} = 4 -4A(Ax^2 +A -x-1) = 4-4A^2x^2-4A^2+4Ax+4A$ $(1)$

$\oplus$ Để $\Delta_{\mathbf{y}}$ có nghiệm thì nghiệm của phương trình $(1)$ có $\Delta_{\mathbf{x}} \ge 0$

$\oplus$ Xem phương trình trên là phương trình bậc $2$ với ẩn là $x$, ta được:

$f(x) = 4-4A^2x^2-4A^2+4Ax+4A = (-4A^2)x^2 + (4A)x + (4A-4A^2+4)$

$\Longrightarrow$ $\Delta_{\mathbf{x}} = (-4A^2)x^2 + (4A)x + (4A-4A^2+4) = -16(4A^4-4A^3-5A^2) \ge 0$

Đến đây lập bãng xét dấu, ta được nghiệm của $PT$ là: $\dfrac{1-\sqrt{6}}{2} \leq A \leq \dfrac{1+\sqrt{6}}{2}$

 

Túm lại:  $Max_\mathbf{A} =\dfrac{1+\sqrt{6}}{2}$ tại $(x;y) = (1-\sqrt{6};2-\sqrt{6})$

              $Min_\mathbf{A} = \dfrac{1-\sqrt{6}}{2}$ tại $(x;y)=(1+\sqrt{6};2+\sqrt{6})$

 

 

 

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 23-04-2013 - 22:18