Chủ đề này có 2 trả lời

[talata]

$\left (a^{2}+b^{2}+c^{2}  \right )\prod \left ( a+b-c \right )\leq\left ( ab+bc+ca \right )abc$ với $a,b,c>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 12-04-2013 - 21:47

[dark templar]

$\left (a^{2}+b^{2}+c^{2}  \right )\prod \left ( a+b-c \right )\geq \left ( ab+bc+ca \right )abc với a,b,c>0$

BĐT này phải đổi dấu lại là cho $\le$.

 

Gợi ý hướng giải:

Spoiler

Xét bài toán trong trường hợp cạnh tam giác thì biến đổi BĐT về dạng $(a+b+c)(ab+bc+ca)R^2 \ge abc(a^2+b^2+c^2)$

và để ý là $0 \le OG^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)$.

[Poseidont]

Em làm lại phát

$(a,b,c)\rightarrow (x+y,y+z,x+z)$

 BĐT $\Leftrightarrow \sum _{cyc}(x+y)^2.\sum_{cyc} 2x\leq \sum_{cyc} (x+y)(y+z).\prod_{cyc} (x+y)$

$\Leftrightarrow 16(\sum _{cyc} x^2+\sum_{cyc}  xy)xyz\leq VP$

Vì bất đẳng thức trên đồng bậc nên ta chuẩn hóa $xyz=1$

Ta có

$2(\sum_{cyc} x^2+\sum_{cyc} xy )=(\sum_{cyc}  x)^2+\sum_{cyc}x^2$

$\prod _{cyc}(x+y).\sum_{cyc}x^2\geq \frac{8}{9}\sum _{cyc} x.\sum _{cyc} xy.\sum_{cyc} x^2\geq 8\sum _{cyc} x^2$ (Vì $xyz=1$)

$\prod_{cyc} (x+y).3\sum _{cyc}xy\geq \frac{8}{9}\sum _{cyc}x.\sum_{cyc} xy.3\sum_{cyc} xy\geq 8\sum_{cyc} x.\sum_{cyc} x.xyz=8\sum_{cyc} (x)^2$

Từ các điều trên ta có điều phải chứng minh