Chủ đề này có 1 trả lời

[Math Is Love]

Bài 1:Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên với $a \neq 0$. Giả sử đa thức $f(x)=ax^2 + bc +c$ thỏa mãn:
$$ f(f(f(d)))=d$$
Chứng minh rằng $f(d)=d$

Bài 2(Russia 1998): Cho $A$ là một tập con của tập các số tự nhiên sao cho trong $1999$ số tự nhiên liên tiếp bất kì luôn có một số nằm trong $A$. Chứng minh rằng tồn tại hai số trong $A$ sao cho số này chia hết cho số kia.

[mathforlife]

Bài 1:

Giả sử $f(d)\neq d\Rightarrow f_{i+1}(d)\neq f_{i}(d),\forall i$

$f_{3}(d)-f_2(d)\vdots f_2(d)-f(d)\vdots f(d)-d=f(d)-f_3(d)\vdots f_2(d)-d=f_2(d)-f_3(d)$

$\Rightarrow \left | f_3(d)-f_2(d) \right |=\left | f_2(d)-f(d) \right |=\left | f(d)-d \right |=k$

Giả sử trong 3 số $f_3(d)-f_2(d),f_2(d)-f(d),f(d)-d$ có m số bằng k và 3-m số = -k.

$\Rightarrow 0=f_3(d)-d=mk-(3-m)k=(2m-3)k\Rightarrow 2m-3=0$, vô lý.

Vậy giả sử sai, ta có đpcm.

 

Bài 2 thì lập bảng rồi Dirichlet thôi.