Cho 3 số thực dương $x,y,z$ với $x\geq y\geq z$ . Chứng minh:
$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$
Cho 3 số thực dương $x,y,z$ với $x\geq y\geq z$ . Chứng minh:
$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$
Cho 3 số thực dương $x,y,z$ với $x\geq y\geq z$ . Chứng minh:
$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$)
Để ý thấy 2 dãy đơn điệu cùng chiều ở vế trái
$$\begin{bmatrix} x^2y&&z^2x&&y^2z\\ \frac 1z && \frac 1y && \frac 1x \end{bmatrix} \overset{Rearrangement}{\ge} \begin{bmatrix} x^2y&&z^2x&&y^2z\\ \frac 1y && \frac 1x && \frac 1z \end{bmatrix}=x^2+y^2+z^2$$
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
Xét hiệu : $ H = ( \frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}) - ( x^2+y^2+z^2 )$
$ = \frac{x^2(y-z)}{z}+\frac{y^2(z-x)}{x}+\frac{z^2(x-y)}{y} $
Ta lại có : $ 0 < z \leq y \leq x $ nên $ x^2(y-z) \ge 0 $, $ y^2(z-x) \ge 0 $
$ \Rightarrow \frac{x^2(y-z)}{z} \ge \frac{x^2(y-z)}{y} $
$ \frac{y^2(z-x)}{x} \ge \frac{y^2(z-x)}{y} $
Do đó : $ H \ge \frac{y^2(z-x)+x^2(y-z)+z^2(x-y)}{y} $
$ yH \ge x^2[(y-x)(x-z)] + y^2(z-x)+z^2(x-y)$
$ = (x-y)(z^2-x^2) +(x-z)(x^2-y^2) $
$ = (x-y)(y-z)(x-z) \ge 0 $ ( do $ x\ge y \ge z >0$ )
Vậy $ H \ge 0 $
$\Rightarrow ( \frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}) \ge ( x^2+y^2+z^2 )$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyxxbian: 16-04-2013 - 22:32
Tình bạn ta như hằng đẳng thức
Sống bên nhau như hai vế phương trình
Xa nhau ta tạm bình phương nhé
Hẹn ngày gặp lại ta sẽ chứng minh
Để ý thấy 2 dãy đơn điệu cùng chiều ở vế trái
$$\begin{bmatrix} x^2y&&z^2x&&y^2z\\ \frac 1z && \frac 1y && \frac 1x \end{bmatrix} \overset{Rearrangement}{\ge} \begin{bmatrix} x^2y&&z^2x&&y^2z\\ \frac 1y && \frac 1x && \frac 1z \end{bmatrix}=x^2+y^2+z^2$$
Dãy trên có đơn điệu cùng chiều đâu em
Bài này có thể dùng Cauchy-Schwarzt như sau :
$(\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y})(\frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x}) \geq (x^2+y^2+z^2)^2$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y} \geq \frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x}$
Quy đồng mẫu số ta cần chứng minh
$x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2 \geq x^3z^2+y^3x^2+z^3y^2$
$\Leftrightarrow P(x,y,z)(x-y)(y-z)(x-z)\geq 0$ với $P(x,y,z) >0$
Nhưng bđt trên luôn đúng do $x \geq y \geq z >0$
Vậy ta có đpcm
Bài này trong cuốn Sáng taoh BĐT .
Mà sao anh Trần Hoàng Anh lại nghĩ ra cái BĐT phụ vậy
Em k hiểu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuongcute1234: 28-04-2013 - 05:17
Bài này trong cuốn Sáng taoh BĐT .
Mà sao anh Trần Hoàng Anh lại nghĩ ra cái BĐT phụ vậy
Em k hiểu
Bài mấy trang bao nhiêu vậy bạn?
THE SHORTEST ANSWER IS DOING
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh