Chủ đề này có 5 trả lời

[BearBean]

Cho 3 số thực dương $x,y,z$ với $x\geq y\geq z$ . Chứng minh:

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

[ilovelife]

Cho 3 số thực dương $x,y,z$ với $x\geq y\geq z$ . Chứng minh:

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$)

Để ý thấy 2 dãy đơn điệu cùng chiều ở vế trái

$$\begin{bmatrix} x^2y&&z^2x&&y^2z\\ \frac 1z && \frac 1y && \frac 1x \end{bmatrix} \overset{Rearrangement}{\ge} \begin{bmatrix} x^2y&&z^2x&&y^2z\\ \frac 1y && \frac 1x && \frac 1z \end{bmatrix}=x^2+y^2+z^2$$

[huyxxbian]

Xét hiệu : $ H = ( \frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}) - ( x^2+y^2+z^2 )$
                   $ = \frac{x^2(y-z)}{z}+\frac{y^2(z-x)}{x}+\frac{z^2(x-y)}{y} $
Ta lại có : $ 0 < z \leq y \leq x $ nên $ x^2(y-z) \ge 0 $, $ y^2(z-x) \ge 0 $
             $ \Rightarrow \frac{x^2(y-z)}{z} \ge \frac{x^2(y-z)}{y} $
                      $ \frac{y^2(z-x)}{x} \ge \frac{y^2(z-x)}{y} $
Do đó : $ H \ge \frac{y^2(z-x)+x^2(y-z)+z^2(x-y)}{y} $
            $ yH \ge x^2[(y-x)(x-z)] + y^2(z-x)+z^2(x-y)$
                   $ = (x-y)(z^2-x^2) +(x-z)(x^2-y^2) $
                   $ = (x-y)(y-z)(x-z) \ge 0 $ ( do $ x\ge y \ge z >0$ )
Vậy $ H \ge 0 $
$\Rightarrow ( \frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}) \ge ( x^2+y^2+z^2 )$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyxxbian: 16-04-2013 - 22:32

[25 minutes]

Để ý thấy 2 dãy đơn điệu cùng chiều ở vế trái

$$\begin{bmatrix} x^2y&&z^2x&&y^2z\\ \frac 1z && \frac 1y && \frac 1x \end{bmatrix} \overset{Rearrangement}{\ge} \begin{bmatrix} x^2y&&z^2x&&y^2z\\ \frac 1y && \frac 1x && \frac 1z \end{bmatrix}=x^2+y^2+z^2$$

Dãy trên có đơn điệu cùng chiều đâu em

Bài này có thể dùng Cauchy-Schwarzt như sau :

                  $(\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y})(\frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x}) \geq (x^2+y^2+z^2)^2$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

                  $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y} \geq \frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x}$

Quy đồng mẫu số ta cần chứng minh 

                 $x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2 \geq x^3z^2+y^3x^2+z^3y^2$

            $\Leftrightarrow P(x,y,z)(x-y)(y-z)(x-z)\geq 0$ với $P(x,y,z) >0$

Nhưng bđt trên luôn đúng do $x \geq y \geq z >0$

Vậy ta có đpcm

[cuongcute1234]

Bài này trong cuốn Sáng taoh BĐT .

Mà sao anh Trần Hoàng Anh lại nghĩ ra cái BĐT phụ vậy

Em k hiểu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuongcute1234: 28-04-2013 - 05:17

[PTKBLYT9C1213]

Bài này trong cuốn Sáng taoh BĐT .

Mà sao anh Trần Hoàng Anh lại nghĩ ra cái BĐT phụ vậy

Em k hiểu

Bài mấy trang bao nhiêu vậy  bạn?