Chủ đề này có 2 trả lời

[Mr123]

Xét sự hội tụ của chuỗi 

 

$\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{n} - \ln \frac{{n + 1}}{n}} \right)} $

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr123: 18-04-2013 - 01:00

[funcalys]

 

Xét sự hội tụ của chuỗi 

 

$\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{n} - \ln \frac{{n + 1}}{n}} \right)} $

 

Định nghĩa hằng số Euler:

$\gamma = \sum_{1}^{\infty}  \frac{1}{n} - \lim \ln n$

Do $\ln (n+1) - \ln n \to 0$, ta có:

$\gamma =\sum_{1}^{\infty}  \frac{1}{n} - \lim \ln (n+1)$

Mà:

$\sum_{1}^{n}\ln \left ( 1 + \frac{1}{k} \right )=\sum_{1}^{n}\left ( \ln (k+1)-\ln k \right )=\ln(n+1)$

 

Nên

$\gamma =\sum_{1}^{\infty}  \frac{1}{n} - \sum_{1}^{\infty}\ln \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )$

 

Từ đây kết luận được sự hội tụ của chuỗi.

[letrongvan]

Cái này có gì đâu, khai triển maclorin $ln(\frac{n+1}{n})=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+o(\frac{1}{n^{2}})$ thì cái chuỗi ban đầu là chuỗi dương rồi xét với chuỗi $\sum \frac{1}{n^{2}}$ là xong, đâu cần đao to búa lớn làm gì!