Chủ đề này có 5 trả lời

[lovemath99]

Cho $a; b; c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$T= \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}-\frac{a+b+c}{3\sqrt[3]{abc}}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemath99: 18-04-2013 - 08:43

[Galaxy Pascal]

Ta có :

 \frac{a}{b}+\frac{b}{a}  >=2 

  a+b+c >= 3\sqrt[3]{abc}

=> T >= 7 => Min T =7 <=> a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Galaxy Pascal: 18-04-2013 - 11:55

[huyxxbian]

Ta có :
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a} >=2 $
  $a+b+c >= 3\sqrt[3]{abc}$
=> T >= 7 => Min T =7 <=> a=b=c

- Bạn chưa đặt biểu thức gõ vào trong $ $
- Bạn bị nhầm vì trước phân thức $\frac{a+b+c}{3\sqrt[3]{abc}}$ có dấu trừ, cho nên dấu khác chiều nhau bạn ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyxxbian: 18-04-2013 - 17:16

[Oral1020]

Không biết có đúng không nữa

Ta có:

$\dfrac{a}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c} \ge \dfrac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$

Như vậy,ta có:

$3+ \sum \dfrac{a}{b} \ge \dfrac{3a+3b+3c}{\sqrt[3]{abc}}$

$\Longrightarrow \sum \dfrac{a}{b} \ge \dfrac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}-3 \ge \dfrac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}} $

Rồi từ đây dễ dàng tìm được $T_{min}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral31211999: 18-04-2013 - 17:48

[25 minutes]

Cho $a; b; c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$T= \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}-\frac{a+b+c}{3\sqrt[3]{abc}}$

Chỉ cần có đánh giá 2 bđt sau

       $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$    (1)

Và  $\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$     (2)

Chứng minh (1)

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$

Tương tự cho 2 bđt còn lại rồi cộng lại ta có đpcm

Chứng minh (2)

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{b}{a}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{b^2}{ac}}=\frac{3b}{\sqrt[3]{abc}}$

Tương tự cho 2 bđt còn lại rồi cộng lại ta có đpcm

Vậy ta có $T \geq \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}-\frac{a+b+c}{3\sqrt[3]{abc}}=\frac{5(a+b+c)}{3\sqrt[3]{abc}}\geq 5$

[Galaxy Pascal]

Nếu cái của tớ sửa lại thì ngắn gọn hơn nhỉ >= 6 - 1 = 5