Chủ đề này có 2 trả lời

[huou202]

Bài 1 :Cho $a,b,c$ là các số dương và $a+b+c=1$.Tìm min của

$P=\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}$

Bài 2 Cho $x,y,z $ là các số dương thoả mãn $xyz=1$.Tìm min của

$Q=\frac{x+3}{(1+x)^2}+\frac{y+3}{(1+y)^2}+\frac{z+3}{(1+z)^2}$.

 

 

 

[Poseidont]

Bài 1 :Gợi ý : bạn dùng $AM-GM$ (2 lần)  với 3 số

Bài 2 $(x,y,z)\rightarrow (\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})$
BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{3a^2+ab}{(a+b)^2)}\geq 3\Leftrightarrow \frac{3}{4}\sum (\frac{a-b}{a+b}+1)^2+\frac{1}{4}\sum \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{(a+b)^2)}\geq 3$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{a-b}{a+b})^2\geq 3\prod \frac{a-b}{a+b}$
Mặt khác $\prod \frac{a-b}{a+b}\leq 1\Leftrightarrow 2(a^2b+b^2c+c^2a)\geq 0$
$\square.$

http://diendantoanho...y3y12fracz3z12/

(Tham khảo thêm)

[25 minutes]

Bài 1 :Cho $a,b,c$ là các số dương và $a+b+c=1$.Tìm min của

$P=\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}$

.

Áp dụng AM-GM ta có 

                $\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{27}{64}+\frac{27}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{27.27}{(1+a)^3.64.64}}=\frac{27}{16(1+a)}$

Tương tự 2 bđt còn lại rồi cộng lại ta được

                $\sum \frac{1}{(1+a)^3}+\frac{81}{32} \geq \frac{27}{16}\sum \frac{1}{1+a}$

Lại có $\sum \frac{1}{1+a}=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \geq \frac{9}{3+a+b+c}=\frac{9}{4}$

Do đó ta có $\sum \frac{1}{(1+a)^3}+\frac{81}{32} \geq \frac{27}{16}\sum \frac{1}{1+a} \geq \frac{243}{64}$

          $\Rightarrow \sum \frac{1}{(1+a)^3} \geq \frac{81}{64}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$