Chủ đề này có 1 trả lời

[huou202]

Cho $x,y,z$ là các số dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2=3$.Tìm min của

$\frac{x^2+1}{y}+\frac{y^2+1}{z}+\frac{z^2+1}{x}-\frac{1}{x+y+z}$.

 

[Poseidont]

Ta có $\sum _{cyc}x^2y\leq \frac{1}{3}.\sum _{cyc}x^2.\sum _{cyc}x$

$\Rightarrow \sum _{cyc}\frac{x^2}{y}=\sum _{cyc}\frac{x^4}{x^2y}\geq \frac{(\sum _{cyc}x^2)^2}{\sum _{cyc}x^2y}\geq \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}$

Mặt khác $\sum _{cyc}\frac{1}{x}\geq \frac{9}{\sum x}$

$\Rightarrow P\geq \frac{17}{\sum x}\geq \frac{17}{\sqrt{3\sum {}x^2}}=\frac{17}{3}$