Chủ đề này có 4 trả lời

[kunkute]

Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$.CMR:

$x+y+z\geq xy+yz+zx$

[maitienluat]

Đặt $S=x+y,P=xy$. Từ điều kiện đã cho ta có $z=\frac{4-S}{1+P}$.

BĐT đã cho trở thành 

$$S+\frac{4-S}{1+P}\geq P+\frac{4-S}{1+P}.S$$

$$SP+4\geq P^{2}+P+4S-S^{2}$$

$$\Leftrightarrow f(P)=P^{2}+(1-S)P-(S-2)^{2}\leq 0$$

Ta có f là hàm bậc hai và $0\leq P\leq \frac{S^{2}}{4}$ nên $f(P)\leq max \left \{ f(0),f\left ( \frac{S^{2}}{4} \right ) \right \}$

Để ý rằng $S\leq 4$ ta dễ dàng kiểm tra được $f(0)\leq 0$ và $f\left ( \frac{S^2}{4} \right )\leq 0$.

Suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a=b=2,c=0$ và các hoán vị.

[Sagittarius912]

Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$.CMR:

$x+y+z\geq xy+yz+zx$

Dồn biến:

Không mất tính tổng quát, giả sử $z=min\left \{ x;y;z \right \}$

Khi đó ta có

 

$x+y+z+xyz\ge 3z+z^3\Rightarrow z\le 1$

 

$\exists t \ge 0$ thỏa mãn $t^2z+2t+z=x+y+z+xyz=4$

Đặt $f(x,y,z)=x+y+z-xy-yz-zx$

Ta sẽ chứng minh

 

$f(x,y,z)\ge f(t,t,z)$

 

$\Leftrightarrow x+y-xy-z(x+y)\ge2t-t^2-2tz$

 

$\Rightarrow (x+y-2t)(1-z)+t^2-xy\ge0$

Mặt khác từ cách đặt t thì ta có

 

$(x+y-2t)=z(t^2-xy)$

Giả sử $x+y-2t <0$ , khi đó $t^2-xy <0$

 

$\Rightarrow xy >t^2>\frac{(x+y)^2}{4}$  ( vô lí)

 

Do đó $(x+y-2t)\ge 0$ và $t^2-xy \ge0$

 

$\Rightarrow f(x,y,z)\ge f(t,t,z)$

 

Ta cần chứng minh

$ f(t,t,z) \ge 0$ 

 

$\Leftrightarrow 2t+z-t^2-2tz \ge 0$ (*)

Từ cách đặt t, ta có

 

$z=\frac{4-2t}{t^2+1} \ge 0$ nên $2-t \ge 0$

Do đó

 

$(*)\Leftrightarrow \frac{(2-t)(t+2)(t-1)^2}{t^2+1}\ge0$  (đúng)

 

$\Rightarrow$ dpcm

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$ hoặc $x=y=2$ ;$z=0$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 19-04-2013 - 17:37

[PTKBLYT9C1213]

Dồn biến:

Không mất tính tổng quát, giả sử $z=min\left \{ x;y;z \right \}$

Khi đó ta có

 

$x+y+z+xyz\ge 3z+z^3\Rightarrow z\le 1$

 

$\exists t \ge 0$ thỏa mãn $t^2z+2t+z=x+y+z+xyz=4$

Đặt $f(x,y,z)=x+y+z-xy-yz-zx$

Ta sẽ chứng minh

 

$f(x,y,z)\ge f(t,t,z)$

 

$\Leftrightarrow x+y-xy-z(x+y)\ge2t-t^2-2tz$

 

$\Rightarrow (x+y-2t)(1-z)+t^2-xy\ge0$

Mặt khác từ cách đặt t thì ta có

 

$(x+y-2t)=z(t^2-xy)$

Giả sử $x+y-2t <0$ , khi đó $t^2-xy <0$

 

$\Rightarrow xy >t^2>\frac{(x+y)^2}{4}$  ( vô lí)

 

Do đó $(x+y-2t)\ge 0$ và $t^2-xy \ge0$

 

$\Rightarrow f(x,y,z)\ge f(t,t,z)$

 

Ta cần chứng minh

$ f(t,t,z) \ge 0$ 

 

$\Leftrightarrow 2t+z-t^2-2tz \ge 0$ (*)

Từ cách đặt t, ta có

 

$z=\frac{4-2t}{t^2+1} \ge 0$ nên $2-t \ge 0$

Do đó

 

$(*)\Leftrightarrow \frac{(2-t)(t+2)(t-1)^2}{t^2+1}\ge0$  (đúng)

 

$\Rightarrow$ dpcm

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$ hoặc $x=y=2$ ;$z=0$ và các hoán vị

Mạnh dạn làm thử một bài :

Trước hết ta có đẳng thức sau: 

Nếu a+b+c+2=abc thì $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1$

Áp dụng đẳng thức trên ta có:

$xy+yz+zx+xyz=4$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1=\frac{4}{xyz}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}+2=\frac{8}{xyz}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+2}=1$

Đặt $x=\frac{2a}{b+c}, y=\frac{2b}{c+a}, z=\frac{2c}{a+b} (a+b+c=1)$

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\sum \frac{a}{b+c}\geq \sum \frac{2ab}{(b+c)(c+a)}$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+ac^{2}+b^{2}c+bc^{2}$ (đúng theo BĐT Schur)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PTKBLYT9C1213: 28-04-2013 - 16:33

[Poseidont]

Bạn xem thêm 1 số dạng về bài toán này1