Chủ đề này có 2 trả lời

[buomdem]

Cho 3 số $a, b, c \ge0$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2=2$. Tìm $max$

    $P=ab+bc+ca-2abc$

[dtvanbinh]

giả sử $c=min(a,b,c)$

    Ta có

              $f(a,b,c)=ab+bc+ca-2abc$

              $f(\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}},\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}},c)=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}+c\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}-c(a^{2}+b^{2})$

 

$f(a,b,c)-f(\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}},\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}},c)=(a-b)^{2}(c-\frac{2}{a+b+\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}}-\frac{1}{2})$

 

xét $g(c)=c-\frac{c}{a+b+\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}}$

     $g'(c)=1-\frac{1}{a+b+\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}}$

do $c=min(a,b,c)$ nên $g'(c)\geq 0$

nên $g(c)\leq g(\sqrt{\frac{2}{3}})< \frac{1}{2}$

   vậy   $f(a,b,c)-f(\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}},\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}},c)\leq 0$

Do đó ta có  $MaxP=Maxf(t,t,c)=t^{2}+2tc-2t^{2}c=h(t)$

ta có $h'(t)=2t+2c-4tc\geq 4\sqrt{tc}-4tc\geq 0$

   nên $h(t)\leq h(1)=1$

Vậy $MaxP=1$ khi $a=b=1,c=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 20-04-2013 - 09:24

[buomdem]

giả sử $c=min(a,b,c)$

    Ta có

              $f(a,b,c)=ab+bc+ca-2abc$

              $f(\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}},\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}},c)=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}+c\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}-c(a^{2}+b^{2})$

 

$f(a,b,c)-f(\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}},\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}},c)=(a-b)^{2}(c-\frac{2}{a+b+\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}}-\frac{1}{2})$

 

xét $g(c)=c-\frac{c}{a+b+\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}}$

     $g'(c)=1-\frac{1}{a+b+\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}}$

do $c=min(a,b,c)$ nên $g'(c)\geq 0$

nên $g(c)\leq $ $g(\sqrt{\frac{2}{3}})< \frac{1}{2}$

   vậy   $f(a,b,c)-f(\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}},\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}},c)\leq 0$

Do đó ta có  $MaxP=Maxf(t,t,c)=t^{2}+2tc-2t^{2}c=h(t)$

ta có $h'(t)=2t+2c-4tc\geq 4\sqrt{tc}-4tc\geq 0$

   nên $h(t)\leq h(1)=1$

Vậy $MaxP=1$ khi $a=b=1,c=0$

 

Chỗ này hình như có vấn đề!?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buomdem: 20-04-2013 - 18:49