Chủ đề này có 2 trả lời

[PBC A]

Cho tam giác ABC nội tiếp đườn tròn(O). Các tiếp tuyến tại A và C cắt tiếp tuyến tại B thứ tự tại M,N. đường cao BP. Chứng minh MPN có phân giác là PB

[Nguyen Huy Tuyen]

Cho tam giác ABC nội tiếp đườn tròn(O). Các tiếp tuyến tại A và C cắt tiếp tuyến tại B thứ tự tại M,N. đường cao BP. Chứng minh MPN có phân giác là PB

$\frac{CP}{CN}=\frac{Cos(ACB).BC}{\frac{BC}{2Cos(NCB)}}=2Cos(ACB).Cos(BAC)$

tương tự $\frac{AP}{AM}=2Cos(ACB).Cos(BAC)$

suy ra $\triangle PCN\sim \triangle PAM (c-g-c)$

suy ra $\widehat{CPN}=\widehat{APM}\Rightarrow \widehat{NPB}=\widehat{MPB}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Huy Tuyen: 21-04-2013 - 23:06

[PTKBLYT9C1213]

$\frac{CP}{CN}=\frac{Cos(ACB).BC}{\frac{BC}{2Cos(NCB)}}=2Cos(ACB).Cos(BAC)$

tương tự $\frac{AP}{AM}=2Cos(ACB).Cos(BAC)$

suy ra $\triangle PCN\sim \triangle PAM (c-g-c)$

suy ra $\widehat{CPN}=\widehat{APM}\Rightarrow \widehat{NPB}=\widehat{MPB}$

Cách của bạn có vẻ hơi khó hiểu. Mình có cách sau:

Gọi Q là giao điểm của tiếp tuyến tại A và C. Kẻ MH vuông góc AC, NK vuông góc AC

Ta có: $\widehat{QAC}=\widehat{QCA}\Rightarrow \widehat{HAM}=\widehat{KCN}$

$\Rightarrow \Delta MHA\sim \Delta NKC(g.g)$

$\Rightarrow \frac{MH}{NK}=\frac{MA}{NC}=\frac{MB}{NB}=\frac{HP}{KP}$

$\Rightarrow \Delta MHP\sim \Delta NKP(c.g.c)$$\Rightarrow \widehat{HPM}=\widehat{KPN}$$\Rightarrow \widehat{MPB}=\widehat{NPB}$

Vậy PB là phân giác góc MPN