Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le 3$. Chứng minh BĐT
$$\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}+\frac{b^2+1}{\sqrt{b^2-b+1}}+\frac{c^2+1}{\sqrt{c^2-c+1}}\ge 6$$
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le 3$. Chứng minh BĐT
$$\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}+\frac{b^2+1}{\sqrt{b^2-b+1}}+\frac{c^2+1}{\sqrt{c^2-c+1}}\ge 6$$
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le 3$. Chứng minh BĐT
$$\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}+\frac{b^2+1}{\sqrt{b^2-b+1}}+\frac{c^2+1}{\sqrt{c^2-c+1}}\ge 6$$
Hướng dẫn:
Ta có BĐT sau:
$$\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}+\frac{1}{a} \geq 3$$
Cái này chứng minh dễ rồi
Từ đó ta được đpcm
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
Cho em hỏi là ý tưởng nào khiến anh nghĩ tới bất đẳng thức như vậy ??
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Cho em hỏi là ý tưởng nào khiến anh nghĩ tới bất đẳng thức như vậy ??
Ý tưởng. Nhìn vào bất đẳng thức này thấy ba biến $a,b,c$ độc lập nhau nên ta nghĩ ngay đến phương pháp hệ số bất định $\text{UCT}$
Dự đoán dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$
Nhìn vào giả thiết thì ta phải thiết lập một bất đẳng thức có dạng: $\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}\geqslant \frac{m}{a}+n(1)$ (với m là một hệ số âm, nếu m ra một hệ số dương thì coi nhưng không thành công)
Tương tự với hai biến $b,c$ rồi cộng lại, ta được: $\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}+\frac{b^2+1}{\sqrt{b^2-b+1}}+\frac{c^2+1}{\sqrt{c^2-c+1}} \geqslant m(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+3n\geqslant 3(m+n)=6\Rightarrow n=2-m$
Thay $n=2-m$ vào $(1)$, ta được: $\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}\geqslant \frac{m}{a}+2-m$
$\Leftrightarrow \frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}-2\geqslant m(\frac{1}{a}-1)$
$\Leftrightarrow \frac{a(\frac{1}{a}-1)(a-3-a^2-a^3)}{(a^2-a+1)(\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}+2)}\geqslant m(\frac{1}{a}-1)$ (Cái này chắc dễ biến đổi)
$\Leftrightarrow m\leqslant \frac{a(a-3-a^2-a^3)}{(a^2-a+1)(\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}+2)}$
Đồng nhất $a=1$ vào ta được $m=-1\Rightarrow n=3$ (thỏa mãn)
Vậy ta được bất đẳng thức phụ: $\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}+\frac{1}{a} \geq 3$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh