Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Le Phuong Thao]

Cho $a,\ b,\ c$ là các số thực không âm, chứng minh rằng: 

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Le Phuong Thao: 21-04-2013 - 10:10

[trauvang97]

Cho $a,\ b,\ c$ là các số thực không âm, chứng minh rằng: 

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2a+b+c}$

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có

 

                            $\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\geq \frac{4}{2(a+2b+c)}=\frac{2}{a+2b+c}$

Tương tự

                           $\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{2a+b+c}\geq \frac{2}{a+b+2c}$

 

                           $\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\geq \frac{2}{2a+b+c}$

 

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên có điều phải chứng minh.

[tramyvodoi]

Cho $a,\ b,\ c$ là các số thực không âm, chứng minh rằng: 

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2a+b+c}$

Áp dụng bđt quen thuộc: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

Ta có $\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\geq \frac{4}{a+3b+a+b+2c}\geq \frac{2}{a+2b+c}$

Thực hiện 2 bđt tương tự rùi cộng theo vế ta được đpcm