Chủ đề này có 1 trả lời

[sakura139]

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rắng:

 

$\frac{a}{a^3 + b^2 + c}+\frac{b}{b^3 + c^2+a}+\frac{c}{c^3 + a^2 + b} \leq 1$

[DarkBlood]

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rắng:

 

$\frac{a}{a^3 + b^2 + c}+\frac{b}{b^3 + c^2+a}+\frac{c}{c^3 + a^2 + b} \leq 1$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz,$ ta có:

$$\dfrac{a}{a^3+b^2+c}=\dfrac{a\left ( \dfrac{1}{a}+1+c \right )}{\left ( a^3+b^2+c \right )\left ( \dfrac{1}{a}+1+c \right )}\leq \dfrac{ac+a+1}{(a+b+c)^2}=\dfrac{ca+a+1}{9}$$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự, ta có:

$$\dfrac{b}{b^3+c^2+a}\leq\dfrac{ab+b+1}{9}$$

$$\dfrac{c}{c^3+a^2+b}\leq\dfrac{bc+c+1}{9}$$

Do đó:

$$\sum \dfrac{a}{a^3+b^3+c}\leq\dfrac{\sum ab+\sum a+3}{9}=\dfrac{\sum ab+6}{9}\leq \dfrac{\dfrac{(\sum a)^2}{3}+6}{9}=1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 22-04-2013 - 11:57