Chủ đề này có 2 trả lời

[vietthanh]

Kí hiệu: $S(n)$ là tổng các chữ số của n. Biết: $S(n)=100$ $S(44n)=800$ tính giá trị của $S(3n)$

[nguyenta98]

Kí hiệu: $S(n)$ là tổng các chữ số của n. Biết: $S(n)=100$ $S(44n)=800$ tính giá trị của $S(3n)$

Giải như sau:

Đặt $n=b_m.10^m+b_{m-1}.10^{m-1}+...+b_1.10+b_0$
Khi đó $44n=(44.b_m).10^m+(b_{m-1}.44).10^{m-1}+...+(b_1.44).10+(b_0.44)$

Như vậy

$S(44n)=S((44.b_m).10^m+(b_{m-1}.44).10^{m-1}+...+(b_1.44).10+(b_0.44))$

$\le S(44.b_m)+S(44.b_{m-1})+...+S(b_0.44)\le S(44).b_m+S(44).b_{m-1}+...+S(44).b_0$

(áp dụng BDT $S(a_1+...+a_n)\le S(a_1)+...+S(a_n)$ và $S(ab)\le S(a).b$ với $0\le b\le 9$)

Mà $S(n)=100 \Rightarrow b_m+...+b_0=100$ do đó $S(44n)\le S(44).(b_m+b_{m-1}+...+b_0)=800$
Dấu $=$ xảy ra nên suy ra $S(44).b_i=S(44.b_i)$ nên $b_i\le 2$

Như vậy $S(3n)=S((3b_m).10^m+...+(3b_1).10+(3b_0))=3b_m+3b_{m-1}+...+3b_0=300$ (do $b_i\le 2$ cm trên)

Vậy $S(3n)=300$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 23-04-2013 - 16:32

[vietthanh]

Tks

Cho mình hỏi nếu đã có bất đẳng thức: $S(m.n)\leq S(m).S(n)$ thì tại sao không sử dụng luôn $S(44n)\leq S(44)S(n)=800$ 

Với lại nếu bạn có thể chứng minh hộ mình bất đẳng thức trên và chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi nào thì mình rất cảm ơn