ĐÊ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2012-2013
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ VINH
(ĐỀ CHÍNH THỨC)
Bài1: (4 điểm)
a. Cho $x=by+cz$; $y=cz+ax$; $z=ax+by$ và $x+y+z\neq 0$.
Chứng minh $$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$$
b. Giải phương trình $x+\frac{2a|x+a|}{x}=\frac{a^{2}}{x}$ (a là hằng số)
Bài 2 
5 điểm)
a. Với $a,b$ là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $4a^{2}+3ab-11b^{2}\vdots 5$ thì $a^{4}-b^{4}\vdots 5$
b. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2013$ chia cho đa thức $x^{2}+8x+12$.
Bài 3 : (3 điểm)
Cho $x>0$, $y\geq 0$ thoả mãn $x^{3}+y^{3}=x-y$. Tìm GTLN của biểu thức $A=x^{2}+y^{2}$.
Bài 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A ( góc A bé hơn $60^{\circ}$ ). Trên một nửa mặt phẳng bờ $AC$ chứa điểm $B$ vẽ tia $Ax$ sao cho $\widehat{CAx}=\widehat{ACB}$. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $C$ qua $Ax$. Nối $BE$ cắt $Ax$ tại $D$. Các đường thẳng $CD$ và $CE$ cắt $AB$ lần lượt tại $I$ và $K$.
a. Chứng minh $ACDE$ là hình thoi
b.Chứng minh : $AK.BA=BK.AI$
c. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$ không cắt cạnh $BC$.XÁc định vị trí điểm $M$ trên đường thẳng $d$ sao cho chu vi tam giác $MBC$ nhỏ nhất.
Bài 5: (2 điểm)
Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 1. $M$ là điểm nằm trên đoạn $BC$. Đường vuông góc với $AM$ tại $M$ cắt cạnh $CD$ tại $N$.Tìm vị trí điểm $M$ để $CN$ có độ dài lớn nhất.
---------------------------------------------------------------------------HẾT------------------------------------------------------------
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 22-04-2013 - 21:30
không làm được bài 4 chán ghê !
