Chủ đề này có 13 trả lời

[thuynguyenly]

Cho x,y,z là 3 số dương thoả mãn x+y+z=1

CM: $\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\geq 14$

[ntqlamthao]

Bài toán này rất đơn giản, mình xin giải như sau:

Ta có:$$\frac{2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2}{2xy+2yz+2zx}\geq 2.\frac{4}{(x+y+z)^2}=8$$

          $$3(xy+yz+xz)\leq (x+y+z)^2$$

          $\Rightarrow xy+yz+zx\leq \frac{1}{3}$ 

          $\Rightarrow \frac{2}{xy+yz+xz}\geq 6$

          $\Rightarrow \frac{2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{3}{xy+yz+xz}\geq 14$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1/3.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ntqlamthao: 23-04-2013 - 20:56

[25 minutes]

Cho x,y,z là 3 số dương thoả mãn x+y+z=1

CM: $\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\geq 14$

Đặt $a=x^2+y^2+z^2, b=xy+yz+xz$

Lại có $a+2b=(x+y+z)^2=1\Rightarrow a=1-2b$

Thay vào biểu thức đã cho ta cần chứng minh 

                         $\frac{3}{b}+\frac{2}{1-2b} \geq 14$

                   $\Leftrightarrow 3-6b+2b \geq 14b(1-2b)$

                   $\Leftrightarrow 28b^2-18b+3 \geq 0$

Rõ ràng bđt trên luôn đúng do hàm bậc 2 có hệ số $a>0, \Delta <0$

Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 23-04-2013 - 20:30

[PTKBLYT9C1213]

Cho x,y,z là 3 số dương thoả mãn x+y+z=1

CM: $\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\geq 14$

$\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{2}{2(xy+yz+zx)}+\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\geq \frac{6}{(x+y+z)^{2}}+\frac{8}{(x+y+z)^{2}}=14$

vì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ và $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$

[25 minutes]

Bài toán này rất đơn giản, mình xin giải như sau:

Ta có:$$\frac{2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2}{2xy+2yz+2zx}\geq 2.\frac{4}{(x+y+z)^2}=8$$

          $$3(xy+yz+xz)\leq (x+y+z)^2$$

          \Rightarrow xy+yz+zx\leq \frac{1}{3} 

          \Rightarrow \frac{2}{xy+yz+xz}\geq 6

          \Rightarrow \frac{2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{3}{xy+yz+xz}\geq 14

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1/3.

 

 

$\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{2}{2(xy+yz+zx)}+\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\geq \frac{6}{(x+y+z)^{2}}+\frac{8}{(x+y+z)^{2}}=14$

vì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ và $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$

2 cách làm này đều sử dụng bđt với điều kiện dấu = là $x=y=z$

Nhưng khi thay $x=y=z=\frac{1}{3}$ vào biểu thức đã cho thì giá trị của nó là $15$ chứ không phải $14$

Theo mình thì bài này dấu = không xảy ra 

[PTKBLYT9C1213]

2 cách làm này đều sử dụng bđt với điều kiện dấu = là $x=y=z$

Nhưng khi thay $x=y=z=\frac{1}{3}$ vào biểu thức đã cho thì giá trị của nó là $15$ chứ không phải $14$

Theo mình thì bài này dấu = không xảy ra 

mình thấy cách làm vẫn đúng mà tại sao lại ko xảy ra dấu "=" nhỉ???????????

[ntqlamthao]

Ừ đúng rồi, tính lại thì ra 15 chứ không phải 14. Bài toán có lẽ không xảy ra dấu bằng

[DarkBlood]

$\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{2}{2(xy+yz+zx)}+\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\geq \frac{6}{(x+y+z)^{2}}+\frac{8}{(x+y+z)^{2}}=14$

vì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ và $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$

Ở đây dấu bằng không xảy ra khi $a=b=c$ đâu bạn:

$\frac{2}{2(xy+yz+zx)}+\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\geq\frac{8}{(x+y+z)^{2}}$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{1}{2(xy+yz+zx)}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\Leftrightarrow 2(xy+yz+zx)=x^2+y^2+z^2$

[ntqlamthao]

Xem ra bài này dấu bằng khá phức tạp, không hề đơn giản như mình nghĩ lúc đầu chút nào.

[Oral1020]

Không có dấu $=$ xảy ra thì phải bởi vì ...

[thuynguyenly]

Đặt $a=x^2+y^2+z^2, b=xy+yz+xz$

Lại có $a+2b=(x+y+z)^2=1\Rightarrow a=1-2b$

Thay vào biểu thức đã cho ta cần chứng minh 

                         $\frac{3}{b}+\frac{2}{1-2b} \geq 14$

                   $\Leftrightarrow 3-6b+2b \geq 14b(1-2b)$

                   $\Leftrightarrow 28b^2-18b+3 \geq 0$

Rõ ràng bđt trên luôn đúng do hàm bậc 2 có hệ số $a>0, \Delta <0$

Vậy ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi nào vậy?

[Christian Goldbach]

Đặt $a=x^2+y^2+z^2, b=xy+yz+xz$

Lại có $a+2b=(x+y+z)^2=1\Rightarrow a=1-2b$

Thay vào biểu thức đã cho ta cần chứng minh 

                         $\frac{3}{b}+\frac{2}{1-2b} \geq 14$

Đến đây biến đổi tương đương

$\Leftrightarrow 3(1-2a)+2a\geq 14a(1-2a)\Leftrightarrow 3-4a\geq 14a-28a^2\Leftrightarrow 3-18a+28a^2\geq 0\Leftrightarrow 3(1-3a)^2+a^2\geq 0(true)$

[anha51997]

Đến đây biến đổi tương đương

$\Leftrightarrow 3(1-2a)+2a\geq 14a(1-2a)\Leftrightarrow 3-4a\geq 14a-28a^2\Leftrightarrow 3-18a+28a^2\geq 0\Leftrightarrow 3(1-3a)^2+a^2\geq 0(true)$

thế bạn ra dấu "=" ntn ? đến cái đó rồi ko xảy ra = 0 đâu

[Supermath98]

Không có dấu $=$ xảy ra thì phải bởi vì ...

Cái trang bạn gửi đó dùng để giải hệ hả bạn?