Chủ đề này có 1 trả lời

[huy thắng]

Tìm tất cả các số tự nhiên $(a,b,c)$ sao cho 

$$a^3+b^3+c^3 \vdots a^2b,b^2c,c^2a$$

 

[Math Is Love]

Tìm tất cả các số tự nhiên $(a,b,c)$ sao cho 

$$a^3+b^3+c^3 \vdots a^2b,b^2c,c^2a$$

Ta chỉ cần giải bài toán trong trường hợp $\gcd (a;b;c)=1$.

Giả sử $\gcd(a;b)=d$. Vì $\gcd (a;b;c)=1$ nên $d \not | c \Rightarrow d \not | a^3+b^3+c^3$.

Nhưng $d|a^2b$ nên $d=1$.

Tương tự ta suy ra được $(a;b;c)$ đôi một nguyên tố cùng nhau.

Vậy bài toán tương đương với $a^2b^2c^2 | a^3+b^3+c^3$.

Không mất tính tổng quát,giả sử $a \geq b \geq c$.

Ta có: $3a^3 \geq \sum a^3 \geq a^2b^2c^2 \Rightarrow a \geq \frac{b^2c^2}{3}$

Mặt khác, ta có:$a^2|b^3+c^3$ nên $ b^3+c^3 \geq a^2 \geq \frac{b^4c^4}{9} $

Vậy nên $18b^3 \geq b^4c^4 \Rightarrow 18 \geq b.c^4$. Vậy $c=1$.

Thay vào trên,ta có:$b^4 \geq 9b^3 +9$. Vậy nên $b \leq 9$.

Thay lần lượt $=1;2;,,,;9$ và $c=1$ vào phương trình ban đầu với chú ý rằng $a \geq b$ và $a^2 |b^3+1$,ta thu được:

$$(a;b;c)=(1;1;1);(3;2;1)$$

Vậy,bộ ba số $(a;b;c)$ cần tìm là $(k;k;k);(k;2k;3k)$ với $k \in Z^+$ và các hoán vị. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 14-05-2013 - 11:15