Chủ đề này có 2 trả lời

[Strygwyr]

Trên đường tròn ta viết theo chiều kim đồng hồ $2$ số $1$ và $48$ số $0$ như sau : $1$;$0$;$1$;$0$;$0$;...;$0$. Ta được phép biến đổi các số trên đường tròn như sau : tại mỗi bước chọn hai số bất kỳ nằm liền kề nhau, giả sử hai số đó là $x$ và $y$ rồi thay $x$ bởi ($x+1$) và thay $y$ bởi ($y+1$). Chứng minh rằng không thể thu được một dãy $50$ số bằng nhau sau một số hữu hạn các phép biến đổi như trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 26-04-2013 - 10:48

[Strygwyr]

khiếp, ngồi nghĩ bài này mất cả buổi chiều nhưng cuối cùng cũng ra

Do các số được xếp thành một đường tròn nên ta có thể nhận được dãy ...$0$;$1$;$0$;$1$;$0$;...

Đặt các số này lần lượt là ...$x_{49}$($0$),$x_{50}$($1$),$x_1$($0$),$x_2$($1$),$x_3$($0$),...

Giả sử ta thu được một dãy $50$ số bằng nhau sau một số làn hữu hạn, khi đó dãy trở thành ...,$k$,$k$,$k$,$k$,$k$,...

Lúc đó, ta đã biến đổi các số $0$ $k$ lần và biến đổi các số $1$ $k-1$ lần

Giả sử ta đã biến đổi hai số $x_{50}$ và $x_1$ $m$ lần và biến đổi hai số $x_1$ và $x_2$ $n$ lần thì $m+n=k$($1$)

Vì các số $x_{50}$ và $x_2$ đã được biến đổi $k-1$ lần nên ta đã biến đổi hai số $x_{50}$ và $x_{49}$ $k-m-1$ lần.

Vì số $x_{49}$ đã được biến đổi $k$ lần nên ta đã biến đổi hai số $x_{49}$ và $x_{48}$ $m+1$ lần.

... Tương tự, ta đã biến đổi hai số $x_3$ và $x_2$ $m+1$ lần. Do đó, ta đã biến đổi hai số $x_2$ và $x_1$ $k-m-2$ lần $\Rightarrow k-m-2=n \Rightarrow m+n=k-2$($2$)

Từ ($1$) và ($2$) ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 01-05-2013 - 08:46

[Mai Xuan Son]

khiếp, ngồi nghĩ bài này mất cả buổi chiều nhưng cuối cùng cũng ra

Do các số được xếp thành một đường tròn nên ta có thể nhận được dãy ...$0$;$1$;$0$;$1$;$0$;...

Đặt các số này lần lượt là ...$x_{49}$($0$),$x_{50}$($1$),$x_1$($0$),$x_2$($1$),$x_3$($0$),...

Giả sử ta thu được một dãy $50$ số bằng nhau sau một số làn hữu hạn, khi đó dãy trở thành ...,$k$,$k$,$k$,$k$,$k$,...

Lúc đó, ta đã biến đổi các số $0$ $k$ lần và biến đổi các số $1$ $k-1$ lần

Giả sử ta đã biến đổi hai số $x_{50}$ và $x_1$ $m$ lần và biến đổi hai số $x_1$ và $x_2$ $n$ lần thì $m+n=k$($1$)

Vì các số $x_{50}$ và $x_2$ đã được biến đổi $k-1$ lần nên ta đã biến đổi hai số $x_{50}$ và $x_{49}$ $k-m-1$ lần.

Vì số $x_{49}$ đã được biến đổi $k$ lần nên ta đã biến đổi hai số $x_{49}$ và $x_{48}$ $m+1$ lần.

... Tương tự, ta đã biến đổi hai số $x_3$ và $x_2$ $m+1$ lần. Do đó, ta đã biến đổi hai số $x_2$ và $x_1$ $k-m-2$ lần $\Rightarrow k-m-2=n \Rightarrow m+n=k-2$($2$)

Từ ($1$) và ($2$) ta có đpcm

Anh không cần làm vậy đâu, xét đại luợng bất biến

$T=\sum _{1}^{49}(x_{i}-x_{i+1})$

Với $x_{1}=x_{3}=1$

Đến đây Xét 2 trạng thái ban đầu và sau biến đổi thì ta thấy sự vô lí