Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenthehoan]

Bài toán:Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ cắt nhau tại $S$.Trung 

 

trực của $AB,AC$ cắt phân giác trong $\widehat{BAC}$ tại $M,N$. $BM,CN$ cắt nhau tại $P$.Chứng 

 

minh rằng $SA$ đi qua tâm nội tiếp tam giác $MNP$.

[tson1997]

Em ngại khâu vẽ hình quá,bác nào vẽ hộ em nhá

Trước hết ta phát biểu không chứng minh 1 bổ đề quen thuộc:

"Tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức $\frac{MN}{MP} = \frac{AB}{AC}$ là đường đối trung đinh A của tam giác ABC " (N;P là hình chiếu của M lên AB;AC)

 

Trở lại với bài toán:

 

Gọi I là giao điểm của đường thẳng vuông góc với OM tại M và đường thẳng vuông góc với ON tại N.

Hiển nhiên rằng IM // AB (cùng vuông góc OM);IN// AC (cùng vuông góc ON).

Từ điều này suy ra rằng :

 

$ (\vec{MI};\vec{MP}) \equiv (\vec{BA};\vec{BM}) \equiv (\vec{AM};\vec{AB}) \equiv (\vec{MN};\vec{MI}) (mod 360^{o}) $

 

suy ra MI là phân giác trong góc M của tam giác MNP.

 

CMTT suy ra NI là phân giác trong góc N của tam giác MNP

suy ra I là tâm nội tiếp tam giác ABC

 

Mặt khác,hạ IX;MU vuông góc AB; IY;NV vuông góc AC thì theo tính chất song song ta có:

MU=IX; NV=IY

 

suy ra : $\frac{IX}{IY} = \frac{MU}{NV} = \frac{AB}{AC}$ (do tam giác MAB đồng dạng tam giác NAC)

 

Theo bổ đề suy ra I thuộc AS hay ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tson1997: 27-04-2013 - 16:50

[thukilop]

Em ngại khâu vẽ hình quá,bác nào vẽ hộ em nhá

Trước hết ta phát biểu không chứng minh 1 bổ đề quen thuộc:

"Tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức $\frac{MN}{MP} = \frac{AB}{AC}$ là đường đối trung đinh A của tam giác ABC " (N;P là hình chiếu của M lên AB;AC)

 

Trở lại với bài toán:

 

Gọi I là giao điểm của đường thẳng vuông góc với OM tại M và đường thẳng vuông góc với ON tại N.

Hiển nhiên rằng IM // AB (cùng vuông góc OM);IN// AC (cùng vuông góc ON).

Từ điều này suy ra rằng :

 

$ (\vec{MI};\vec{MP}) \equiv (\vec{BA};\vec{BM}) \equiv (\vec{AM};\vec{AB}) \equiv (\vec{MN};\vec{MI}) (mod 360^{o}) $

 

suy ra MI là phân giác trong góc M của tam giác MNP.

 

CMTT suy ra NI là phân giác trong góc N của tam giác MNP

suy ra I là tâm nội tiếp tam giác ABC

 

Mặt khác,hạ IX;MU vuông góc AB; IY;NV vuông góc AC thì theo tính chất song song ta có:

MU=IX; NV=IY

 

suy ra : $\frac{IX}{IY} = \frac{MU}{NV} = \frac{AB}{AC}$ (do tam giác MAB đồng dạng tam giác NAC)

 

Theo bổ đề suy ra I thuộc AS hay ta có đpcm

Theo mình nghĩ thì cần chứng minh thêm SA là đường đối trung để từ đó từ dòng đỏ mới suy ra được chứ nhỉ